A través de dos puntos dados de una circunferencia, construye dos cuerdas paralelas con una suma dada.

Question

El problema es del ejercicio 317 de Geometría de Kiselev.

A través de dos puntos dados de una circunferencia, construye dos cuerdas paralelas con una suma dada.

Esto es lo que he probado hasta ahora:

Marque los dos puntos por $A$ y $C$ respectivamente. Si hemos construido tales dos cuerdas y marcado los otros dos puntos por $B$ y $D$ el cuadrilátero $ABCD$ es un trapecio isósceles donde $AC$ es una diagonal y (sin pérdida de generalidad) $AB$ y $CD$ son paralelas. La línea media de las bases mide la mitad de la suma dada, y pasa por el punto medio de la diagonal $AC$ .

Desgraciadamente, no pude avanzar más a partir de aquí; creo que debería utilizar el hecho de que los 4 puntos son cíclicos y $ABCD$ es un trapecio isósceles, pero no pude encontrar el uso del hecho.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Considera la imagen:

Sea $A$ y $B$ son los dos puntos, y $AC$ y $BD$ sean los acordes deseados; sea $AC+BD=a$ . Supongamos primero que la situación es como en la imagen, es decir $C$ y $D$ están en el mismo lado con respecto a $AB$ . Consideremos la simetría central con respecto a $S$ , $\mathcal S_S$ donde $S$ es el punto medio de $AB$ así que $\mathcal S_S(A)=B$ y $\mathcal S_S(B)=A$ . Sea $\mathcal S_S(C)=C'$ y $\mathcal S_S(D)=D'$ . Entonces $AD'=BD$ y $AD'\parallel BD$ Así que $A$ , $D'$ y $C$ son colineales y $CD'=a$ . También $\angle BCA=\angle BD'A=:\alpha$ ya que son ángulos inscritos sobre $AB$ en círculos congruentes. Así $BC=BD'$ .

Obsérvese que un triángulo congruente con $\triangle BCD'$ puede construirse: $CD'=a$ así como $\alpha$ (ángulo inscrito sobre $AB$ en el círculo dado). Por tanto, la medida de $BC$ puede construirse, por lo que $C$ también puede construirse. Finalmente, $D$ puede construirse trivialmente.

El caso cuando $C$ y $D$ están en los lados opuestos con respecto a $AB$ es similar, sólo hay que tener en cuenta la traducción $\mathcal T_{\overrightarrow{AB}}$ en lugar de $\mathcal S_S$ .

Answer 2

Sean Q, R los puntos dados. QRBA el círculo dado. Partir el segmento de recta de longitud sumada QP en A.

Traza una paralela a través de B y transfiere paralelamente AP a BR. El punto R debe se encuentran en el círculo porque $\alpha,\beta$ son ángulos suplementarios opuestos en un cuadrilátero cíclico.

Del mismo modo, transfiera AQ a BS. Dibujar el círculo congruente PABS. Sea el diámetro de los círculos $d$ . La construcción geométrica es antisimétrica con respecto al punto medio de AB.

En primer lugar, me acerqué de la manera que usted sugirió, pero la partición en AP, AT en lugar de AT, AQ me llevó a errores.

Fwiw encontró la siguiente relación por la regla del seno relevante para la construcción que implica un lado, diagonal ( de trapecio isósceles AQRB ) y la distancia entre líneas paralelas dadas $h$ .

$$r_1\cdot r_2= h\cdot d$$