¿Cómo poner límite superior y límite inferior para esta integral cuando hay algunos valores indefinidos en ella?

Question

Estaba intentando resolver la integral para $$ \int_{0}^{\pi/2} (\sin 2x)(\log(\tan x)) dx $$ y en el resultado final obtuve unos valores que también incluían log(tan(x)) . Ahora al evaluar la integral con límites estos valores logarítmicos tanto de tan(pi/2) como de tan(0) van a ser indefinidos. Y después de eso, soy incapaz de obtener el resultado apropiado. Por favor, ayuda de cómo proceder con los términos indefinidos.

Answer 1

Un enfoque alternativo. Aplicando la sustitución $x\mapsto\arctan t$ la integral dada es igual a $$ I= \int_{0}^{+\infty}\frac{2t\log t}{(1+t^2)^2}\,dt =\frac{d}{ds}\left.\int_{0}^{+\infty}\frac{2t^s}{(1+t^2)^2}\,dt\,\right|_{s=1^+}$$ pero debido a la sustitución $\frac{1}{1+t^2}=u$ la función Beta de Euler y la fórmula de reflexión para la $\Gamma$ tenemos $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{2t^s}{(1+t^2)^2}\,dt = \frac{\pi(1-s)}{2\cos\frac{\pi s}{2}}=\frac{\pi(1-s)}{2\sin\frac{\pi(1-s)}{2}}=\frac{1}{\text{sinc}\frac{\pi(1-s)}{2}}$$ para cualquier $-1<s<3$ . La última función es una función par de la variable $(1-s)$ por lo que la derivada del lado derecho en $s=1$ es igual a cero y también lo hace la integral original.

Answer 2

$$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0;\delta \to \frac{\pi }{4}} \int\limits_\varepsilon ^\delta {\sin 2x\log \tan x\;{\kern 1pt} dx + } \mathop {\lim }\limits_{\delta \to \frac{\pi }{4};\beta \to \frac{\pi }{2}} \int\limits_\delta ^\beta {\sin 2x\log \tan x\;{\kern 1pt} dx} $$

$f(x)=-f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$

$\sin \left(2 \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right) \log \left(\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)=\sin(\pi-2x)\log(\cot x)=\sin 2x(-\log\tan x)=$

$=-\sin 2x\log\tan x$

En el intervalo $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ la función es simétrica respecto al punto $x=\dfrac{\pi}{4}$ por lo tanto la integral es cero.

Answer 3

Nota \begin{align} & \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x\ln(\tan x)dx \overset{t=\tan^2 x}=\int_0^\infty \frac{\ln t}{2(1+t)^2}dt \overset{t=\frac1t}=-\int_0^\infty \frac{\ln t}{2(1+t)^2}dt=0 \end{align}