Movimiento browniano: Markov fuerte frente a invariancia de traslación

Question

En la demostración del principio de reflexión en el libro de texto de Durrett ( Probabilidad: Teoría y Ejemplos (4e) Teorema 8.4.1, página 317), hay un paso en el que estoy un poco indeciso. Básicamente, esta prueba invoca la propiedad de Markov fuerte, así que para establecer esto en la notación de Durrett, dejemos que $B_s$ denotan el movimiento browniano y definen (creo que para fijos $t$ aquí, pero corrígeme si me equivoco): $$ Y_s(\omega) = \begin{cases} 1, & \textrm{if } s<t,\, \omega(t-s)>a\\ 0, & \textrm{otherwise} \end{cases} $$ A continuación, se define el tiempo de parada $S = \inf\{s<t: B_s=a\}$ (y $\inf \emptyset = \infty$ ), obtenemos: $$ Y_S(\theta_S \omega) = \begin{cases} 1, & \textrm{if } S<t,\, B_t>a\\ 0, & \textrm{otherwise} \end{cases} $$ donde $\theta_S$ es el operador de desplazamiento aleatorio habitual para elementos de $\mathcal{C}[0,\infty)$ . Hasta aquí todo bien. Me costó un poco entenderlo, pero tiene sentido. Aplicando la propiedad de Markov fuerte obtenemos $$ E_0(Y_S \circ \theta_S | \mathcal{F}_S) = E_{B_S} Y_S \textrm{ on } \{S < \infty\}$$ Ahora teniendo expectativas, Durrett consigue: $$ P_0(T_a < t, B_t \geq a) = E_0(Y_S \circ \theta_S; S < \infty) $$ No veo el lado derecho. Estoy tratando de ver cómo $$ E_0 (E_{B_S} Y_S; S < \infty) = E_0(Y_S \circ \theta_S; S<\infty) $$ pero me estoy confundiendo. ¿Esto implica de alguna manera la invarancia de traducción de $B_s$ o es directamente de la definición de $Y_S$ ¿me estoy perdiendo algo obvio?

EDITAR : Sólo pongo aquí la solución de @saz para aclarar exactamente dónde se usa la propiedad de Markov fuerte. Esencialmente integrando $Y_S(\theta_S \omega)$ en $\{S < \infty\}$ y escribiéndolo como: $$E_0(Y_S \circ \theta_S; S < \infty) = E_0(E_0(Y_S \circ \theta_S | \mathcal{F}_S); S < \infty)$$ Resulta obvio dónde aplicar la propiedad de Markov.

Answer 1

En realidad, Durrett toma la expectativa en la identidad anterior:

$$Y_S(\theta_S \omega) = \begin{cases} 1, & \text{if} \, S(\omega)<t, B_t(\omega)>a \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}. \tag{1}$$

En efecto: Por $(1)$ tenemos $$Y_S(\theta_S \omega)= 1_{\{S<t,B_t>a\}}(\omega). $$

Desde $T_a(\omega) = S(\omega)$ para todos $\omega \in \{S<t\}$ esto demuestra

$$Y_S(\theta_S \omega) = 1_{\{T_a<t, B_t>a\}}(\omega). \tag{2}$$

En $\{T_a < t\} = \{S<\infty\}$ esto implica

$$Y_S(\theta_S \omega) 1_{\{S<\infty\}} \stackrel{(2)}{=} 1_{\{T_a<t, B_t>a\}}(\omega) 1_{\{S<\infty\}}(\omega) = 1_{\{T_a<t, B_t>a\}}(\omega). \tag{3}$$

Integrando ambos lados se obtiene

$$\begin{align*} \mathbb{P}_0(T_a < t, B_t>a) &\stackrel{(3)}{=} \mathbb{E}_0(Y_S \circ \theta_S 1_{\{S<\infty\}}) \\ &= \mathbb{E}_0(Y_S \circ \theta_S; S< \infty). \end{align*}$$

Por último, tenga en cuenta que $\mathbb{P}_0(B_t=a)=0$ y, por tanto, se sigue la afirmación.