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Álgebra de Von Neumann asociada al álgebra infinita de Cuntz

El álgebra de Cuntz O es el universal C -generada por un número contablemente infinito de isometrías si que satisfagan las relaciones sisj=δij (no existe ninguna condición sobre la suma isisi en este caso, ya que la suma sería infinita).

Hay otra forma de describirlo C -como una subálgebra de los operadores acotados en un espacio de Hilbert de la siguiente manera: Sea H sea un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita. Entonces definimos el espacio de Fock

F(H)=nN0Hn .

con H0C . Cualquier elemento vH define un operador de creación sv(ξ)=vξ y un operador de aniquilación sv(wξ)=v,wξ que es cero en C=H0F(H) . En C -generada por sv y sv (es decir, el cierre de la norma) es de nuevo O . Tras elegir una base ortonormal eiH podemos identificar si=sei .

Mi pregunta es:

¿Se sabe algo del álgebra de von Neumann generada por O de este modo, es decir, el cierre débil o doble conmutante de O en B(F(H)) ? ¿De qué tipo es ( III1 o simplemente I )?

EDIT: ¿Hay estados interesantes/canónicos en O tal que el álgebra de von Neumann asociada a la construcción GNS es de tipo III1 ?

21voto

Blackbelt Puntos 108

El álgebra de von Neumann M generado por O es todo B(F(H)) .

En efecto, si a pertenece a su conmutante, permítanme demostrar que a es múltiplo de la identidad. Primero porque para todo vH , sv(aΩ)=a(svΩ)=0 tenemos que aΩ=λΩ para algunos λC . Entonces para cada ξnHn (suma finita) pick xO tal que xΩ=ξ . Entonces a(ξ)=x(aΩ)=λξ . Esto demuestra a=λ .

(Permítanme añadir que, de acuerdo con la notación estándar, Ω denota un vector unitario fijo en H0 ).

4voto

Patrick Klug Puntos 5320

Estoy razonablemente convencido de que el álgebra genera todo B(F(H)) . Tenga en cuenta que 1i=1sisi converge fuertemente a la proyección P_0 en C y análogamente la suma 1|α|=nsαsα sobre multiíndices converge a la proyección Pn en vectores con la mayor potencia tensorial n1 . Vectores de selección uHn , vHm entonces los operadores su , sv (las generalizaciones obvias de la si ) están en su álgebra y también lo está el operador de rango uno svsuPn+1=|v>< u| . Por último, tenga en cuenta que puede aproximar cualquier rango uno en B(F(H)) por estos.

3voto

eriko Puntos 140

Si se toma el espacio de Fock FP asociado a un polarización de H como en [W, página 480, línea 7], y considerar el álgebra CAR (=álgebra generada por los operadores de creación y aniquilación) generada por un subespacio KH como en [W, página 497, línea 29], entonces el álgebra de von Neumann que esto genera es (hiperfinita) de tipo III1 [W, Corolario al final de la página 500].

Referencia:
[Wassermann, Álgebras de operadores y teoría del campo conforme

1voto

hänsel Puntos 534

Has hecho dos preguntas. La primera sobre O (primer párrafo). Y en segundo lugar una realización especial de O (segundo párrafo, espacio de Fock).

Su respuesta puede depender de la representación, y las respuestas dadas por Mikael de la Salle y Ollie están relacionadas con la representación del espacio de Fock.

Pero si O se incrusta en un espacio de Hilbert de tal manera que la suma fuerte de operadores 1n1snsn se proyecta sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita H (no unidimensional), entonces me cuesta imaginar cómo se podrían realizar todos los operadores en B(H) en el cierre fuerte de operadores de O .

Para ver esto, observe que cada elemento en el álgebra generada por si tiene la forma: α,βwordsλα,βsαsβ para escalares λ s. Casi todos estos operadores sαsβ proyectar vectores sobre H moverlos a HH y moverlos de nuevo a H .

La única excepción es 1=ss que puede mover vectores de H a H .

Conclusión: O¯B(HH) en este caso.

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