Álgebra de Von Neumann asociada al álgebra infinita de Cuntz

Question

El álgebra de Cuntz $\mathcal{O}_{\infty}$ es el universal $C^*$ -generada por un número contablemente infinito de isometrías $s_i$ que satisfagan las relaciones $s_i^*s_j = \delta_{ij}$ (no existe ninguna condición sobre la suma $\sum_i s_is_i^*$ en este caso, ya que la suma sería infinita).

Hay otra forma de describirlo $C^*$ -como una subálgebra de los operadores acotados en un espacio de Hilbert de la siguiente manera: Sea $H$ sea un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita. Entonces definimos el espacio de Fock

$$ \mathcal{F}(H) = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}_0} H^{\otimes n}\ . $$

con $H^{\otimes 0} \cong \mathbb{C}$ . Cualquier elemento $v \in H$ define un operador de creación $s_v(\xi) = v \otimes \xi$ y un operador de aniquilación $s_v^*(w \otimes \xi) = \langle v, w \rangle \xi$ que es cero en $\mathbb{C} = H^{\otimes 0} \subset \mathcal{F}(H)$ . En $C^*$ -generada por $s_v$ y $s_v^*$ (es decir, el cierre de la norma) es de nuevo $\mathcal{O}_{\infty}$ . Tras elegir una base ortonormal $e_i \in H$ podemos identificar $s_i = s_{e_i}$ .

Mi pregunta es:

¿Se sabe algo del álgebra de von Neumann generada por $\mathcal{O}_{\infty}$ de este modo, es decir, el cierre débil o doble conmutante de $\mathcal{O}_{\infty}$ en $B(\mathcal{F}(H))$ ? ¿De qué tipo es ( $III_1$ o simplemente $I_{\infty}$ )?

EDIT: ¿Hay estados interesantes/canónicos en $\mathcal{O}_{\infty}$ tal que el álgebra de von Neumann asociada a la construcción GNS es de tipo $III_1$ ?

Answer 1

El álgebra de von Neumann $M$ generado por $\mathcal O_\infty$ es todo $B(\mathcal F(H))$ .

En efecto, si $a$ pertenece a su conmutante, permítanme demostrar que $a$ es múltiplo de la identidad. Primero porque para todo $v \in H$ , $s_v^* (a \Omega)= a (s_v^* \Omega)=0$ tenemos que $a \Omega=\lambda \Omega$ para algunos $\lambda \in \mathbb C$ . Entonces para cada $\xi \in \oplus_n H^{\otimes n}$ (suma finita) pick $x \in \mathcal O_\infty$ tal que $x \Omega=\xi$ . Entonces $a(\xi) = x (a\Omega)=\lambda \xi$ . Esto demuestra $a=\lambda$ .

(Permítanme añadir que, de acuerdo con la notación estándar, $\Omega$ denota un vector unitario fijo en $H^{\otimes 0}$ ).

Answer 2

Estoy razonablemente convencido de que el álgebra genera todo $B(\mathcal{F}(H))$ . Tenga en cuenta que $1-\sum_{i=1}^\infty s_is_i^*$ converge fuertemente a la proyección $P\_0$ en $\mathbb{C}$ y análogamente la suma $1-\sum_{|\alpha|=n}s_\alpha s_\alpha^*$ sobre multiíndices converge a la proyección $P_n$ en vectores con la mayor potencia tensorial $n-1$ . Vectores de selección $u\in H^{\otimes n}$ , $v\in H^{\otimes m}$ entonces los operadores $s_u$ , $s_v$ (las generalizaciones obvias de la $s_i$ ) están en su álgebra y también lo está el operador de rango uno $s_vs_u^*P_{n+1}=|v><\ u|$ . Por último, tenga en cuenta que puede aproximar cualquier rango uno en $B(\mathcal{F}(H))$ por estos.

Answer 3

Si se toma el espacio de Fock $\mathcal F_P$ asociado a un polarización de $H$ como en [W, página 480, línea 7], y considerar el álgebra CAR (=álgebra generada por los operadores de creación y aniquilación) generada por un subespacio $K\subset H$ como en [W, página 497, línea 29], entonces el álgebra de von Neumann que esto genera es (hiperfinita) de tipo $III_1$ [W, Corolario al final de la página 500].

Referencia:
[Wassermann, Álgebras de operadores y teoría del campo conforme

Answer 4

Has hecho dos preguntas. La primera sobre $\mathcal{O}_\infty$ (primer párrafo). Y en segundo lugar una realización especial de $\mathcal{O}_\infty$ (segundo párrafo, espacio de Fock).

Su respuesta puede depender de la representación, y las respuestas dadas por Mikael de la Salle y Ollie están relacionadas con la representación del espacio de Fock.

Pero si $\mathcal{O}_\infty$ se incrusta en un espacio de Hilbert de tal manera que la suma fuerte de operadores $1-\sum_{n \ge 1} s_n s_n^*$ se proyecta sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita $H$ (no unidimensional), entonces me cuesta imaginar cómo se podrían realizar todos los operadores en $B(H)$ en el cierre fuerte de operadores de $\mathcal{O}_\infty$ .

Para ver esto, observe que cada elemento en el álgebra generada por $s_i$ tiene la forma: $$\sum_{\alpha,\beta \in \mbox{words}} \lambda_{\alpha,\beta} s_\alpha s_\beta^*$$ para escalares $\lambda$ s. Casi todos estos operadores $s_\alpha s_\beta^*$ proyectar vectores sobre $H^\bot$ moverlos a $H^\bot \oplus H$ y moverlos de nuevo a $H^\bot$ .

La única excepción es $1=s_\emptyset s_\emptyset^*$ que puede mover vectores de $H$ a $H$ .

Conclusión: $\overline{\mathcal{O}_\infty} \neq B(H \oplus H^\bot)$ en este caso.