Es decir, ¿cuáles son algunos buenos ejemplos de espacios vectoriales que son espacios de producto interno pero en los que no todas las secuencias de Cauchy convergen?
Respuestas
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Cualquier subespacio no cerrado de un espacio de Hilbert sirve. Por ejemplo, el lineal span de una base de Hilbert de un espacio de Hilbert de dimensión infinita.
Un ejemplo explícito $H = \ell^2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de secuencias cuadradas sumables de números reales con operaciones puntuales y producto interior $$\Bigl\langle \{a_n\},\{b_n\}\Bigr\rangle = \sum_{k=1}^{\infty} a_kb_k.$$ Sea $\mathbf{e}_i$ sea la secuencia que tiene un $1$ en el $i$ y $0$ s en otros lugares. Entonces $\{\mathbf{e}_i\mid i\in\mathbb{N}\}$ es una base de Hilbert para $H$ y su tramo lineal (el espacio vectorial de todas las secuencias casi nulas) es un espacio de producto interno que no es completo.
Matt Dawdy
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Muchos subespacios naturales de los espacios de Hilbert no son espacios de Hilbert (que es lo mismo que decir que no son cerrados). Dos ejemplos que me vienen a la mente son el subespacio de secuencias en $\ell^2(\mathbb{Z})$ con un número finito de términos distintos de cero (las secuencias con soporte compacto) y las funciones continuas $C([0, 1])$ bajo el $L^2$ -norm. (Nótese que aquí no hay que hacer cociente por nada porque ya es cierto que una función continua con cero $L^2$ -es idénticamente cero).
Priyank
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Un ejemplo ligeramente distinto del ya mencionado sería un (sub)espacio vectorial sobre los racionales. Se puede tomar cualquier espacio de Hilbert real o complejo, por ejemplo, y considerar el subespacio lineal sobre los números racionales.
Edición: Perdón por la confusión: Parece que el "espacio del producto interior" se define normalmente sobre los números reales o complejos, aunque la definición también funciona si se utilizan los números racionales (o cualquier otro campo normado). Así que, estrictamente hablando, la restricción del campo normativo a los números racionales no es un ejemplo de espacio de producto interior incompleto.
