Rotación irracional - tiempos de recurrencia

Question

Considero la rotación irracional $T_\alpha(x) = x + \alpha \text{ mod } 1$ para un irracional dado $\alpha \in [0,1]$ . Para un intervalo abierto dado $A \subset [0,1]$ con longitud $|A|>0$ considero los tiempos de recurrencia $I = \{n\in \mathbb{N}: T^n(0) \in A \}$ . Quiero demostrar que $\sum_{i \in I} p\cdot(1-p)^i \to |A|$ como $p \to 0$ .

Mi motivación muy informal para esto es que la suma anterior debe ser igual a $\sum_{n\in \mathbb{N}} p \cdot (1-p)^{n\cdot\frac{1}{|A|}}$ "más o menos" "unos pocos" $(1-p)$ -factores (que tienden a $1$ como $p \to 0$ ), y puede demostrarse que esta última suma converge a $|A|$ como $p \to 0$ .

He obtenido un resultado algo similar (pero obviamente no idéntico) para el caso de racionales $\alpha$ (con mucho gusto añadiré detalles, pero no estoy seguro de que sea útil), e intenté derivar lo anterior utilizando una serie racional convergente a $\alpha$ pero no tuvo éxito.

Desgraciadamente, no tengo prácticamente ninguna formación en teoría ergódica, teoría de números y temas similares que aparentemente tratan las rotaciones irracionales, y por tanto no sé muy bien por dónde empezar.

Answer 1

En la gama $n \le jp^{1/2} < n+1$ el número de $j$ que contribuyen a la suma es $|A|p^{-1/2} +o(p^{-1/2})$ . Así que esa parte de la suma satisface $$ \sum_{j=np^{-1/2}}^{(n+1)p^{-1/2}} p(1-p)^j \chi_I(j)= (|A|p^{1/2}+o(p^{1/2})) (1-p)^{np^{-1/2}} ; $$ aquí, puedo tratar $(1-p)^j$ como constante al hacer la suma, a expensas de un error multiplicativo $(1-p)^{p^{-1/2}}$ que puede absorberse en el otro término de error, a partir del teorema ergódico.

Así que la suma total es igual a $$ |A|p^{1/2}(1+o(1)) \sum_{n\ge 0} (1-p)^{np^{-1/2}} = (1+o(1))|A| \frac{p^{1/2}}{1-(1-p)^{p^{-1/2}}} \to |A| , $$ como desee.

Answer 2

Puede recuperar este resultado en dos pasos:

• una variación del teorema ergódico de Birkhoff permite obtener la convergencia de Cesàro de las sumas;
• La convergencia de Cesàro implica la convergencia de Abel.

Primer paso: $T_\alpha$ preserva la medida de Lebesgue y es únicamente ergódica. Por tanto, para todo $f \in \mathcal{C} (\mathbb{S}_1, \mathbb{R})$ ,

$$\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \circ T_\alpha^k = \int_{\mathbb{S}_1} f(x) \ dx,$$

donde el límite es uniforme. Al aproximar $\mathbf{1}_A$ desde arriba y desde abajo por funciones continuas, obtenemos que:

$$\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \mathbf{1}_A \circ T_\alpha^k = |A|,$$

donde el límite vuelve a ser uniforme. Tuve que utilizar la ergodicidad uniforme para poder decir algo sobre un punto de partida específico ( $0$ ) en lugar de uno genérico.

Segundo paso: dejar que $p \in (0,1)$ . Sea $(a_k)_{k \geq 0}$ sea una sucesión real acotada. Entonces:

$$\sum_{n=0}^{+ \infty} (1-p)p^n a_n = \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{n(1-p)^2 p^n}{p} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k$$

Ahora, poniendo $b_n^p := n(1-p)^2p^{n-1}$ para todos $p \in (0,1)$ la secuencia $(b_n^p)_{n \geq 1}$ define una medida de probabilidad sobre los enteros positivos. Además, para todo $n$ , $b_n^p$ converge a $0$ como $p$ va a $1$ . Por lo tanto,

$$\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k = \ell \quad \implies \quad \lim_{p \to 1} \sum_{n=0}^{+ \infty} (1-p)p^n a_n = \ell.$$

Por último, toma $a_n := \mathbf{1}_A \circ T_\alpha^n (0)$ y aplica el primer paso.