¿Discontinuo en racionales y diferenciable en irracionales?

Question

Sabemos que existen funciones reales que son continuas en cada irracional y dis- continuas en cada número racional.

Pero, ¿existe una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es diferenciable en cada irracional y discontinua en cada racional?

Answer 1

Creo que no puede haber tal función.

Supongamos que $f$ es discontinua en algún punto $q$ . Debe haber constantes $A,B$ para que $f(s) < A < B < f(t)$ se mantiene para los puntos $s,t$ arbitrariamente cerca de $q$ .

Supongamos que $x_0<q$ satisface $q-x_0 < B-A$ . Elegir secuencias $s_n, t_n > x_0$ convergiendo hacia $q$ y satisfactoria $f(s_n) < A < B < f(t_n)$ . Entonces tenemos

$$\frac{f(t_n) - f(x_0)}{t_n - x_0} - \frac{f(s_n) - f(x_0)}{s_n - x_0} > \frac{B - f(x_0)}{t_n - x_0} - \frac{A - f(x_0)}{s_n - x_0} \to \frac{B-A}{q - x_0} > 1$$

y puede concluir que existen $s,t$ tan cerca de $q$ como nos gusta satisfacer

$$\frac{f(t) - f(x_0)}{t - x_0} - \frac{f(s) - f(x_0)}{s - x_0} > 1$$

Argumentar de forma similar cuando $x_0 > q$ y trivialmente (ya que los cocientes de Newton serán no acotados como resultado de la discontinuidad) cuando $x_0 = q$ obtenemos la misma conclusión con sólo $|x_0 - q| < B-A$ .

Para $n$ un número entero positivo $X_n$ denotan todos los puntos $x_0$ en $\mathbf{R}$ para las que existe $s,t$ a una distancia inferior a $1/n$ de $x_0$ que satisfaga la desigualdad anterior. Nuestro argumento implica que, para cada $n$ , $X_n$ es una vecindad de cada punto $q$ en el que $f$ es discontinua (considérense los puntos $x_0$ cuya distancia desde $q$ es inferior a $1/n$ y $B-A = B_q - A_q$ ). Si ocurre que los puntos de discontinuidad son densos (como en el caso de $\mathbf{Q}$ ), esto implica que cada $X_n$ contiene un conjunto denso abierto y, por tanto $\bigcap_n X_n$ es la segunda categoría en $\mathbf{R}$ .

La cuestión es, por supuesto, que ningún punto en el que $f$ es diferenciable puede estar en todas las $X_n$ por lo que si $f$ es discontinua en los racionales, entonces $f$ es diferenciable como máximo en un conjunto de 1ª categoría en $\mathbf{R}$ (que no son los irracionales).

Answer 2

Surgió en una respuesta que ha sido borrada que se puede encontrar una solución a este problema como "solución 2" en el siguiente archivo: http://www.isibang.ac.in/~statmath/problems/soljan09.pdf . Otra referencia es " Teorema sobre las funciones discontinuas en un conjunto denso "por Fort.