$\text{lcm}(a,b)+7\gcd (a,b) = a^2+b^2$

Question

Hallar todos los enteros positivos tales que $\text{lcm}(a,b)+7\gcd (a,b) = a^2+b^2$ .

Pensé en poner $a = ck$ y $b = dk$ donde $\gcd(c,d) = 1$ lo que hace que nuestra expresión se convierta en $$cdk+7k = (ck)^2+(dk)^2.$$ Equivalentemente, $$cd+7 = k(c^2+d^2).$$ ¿Cómo seguimos a partir de aquí o hay un camino más fácil?

Answer 1

Debemos encontrar todos los pares de coprimos positivos $c,d$ tal que $c^2+d^2| cd+7$ .

( podemos dejar que $c\leq d$ para facilitar los cálculos)

Observe que $c^2+d^2\geq 2cd$ por lo que debemos tener $cd\leq 7$ .

Los únicos pares de enteros positivos coprimos $c,d$ con $cd\leq 7$ son:

$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,3)$

Por supuesto $1+d^2> d+7$ para $d\geq 3$ .

Así que sólo debemos comprobar $(1,1),(1,2),(2,3)$ y resulta que sólo $(1,1)$ y $(2,3)$ trabajo ( el primero da $k=4$ y el segundo $k=1$ ).

Así que el conjunto de soluciones es:

$(4,4),(2,3)$ y $(3,2)$