Sea $\sigma_{11}(n)$ denotan la suma de las potencias 11 de los divisores integrales positivos del entero positivo n. Sea $\tau(n)$ denotan la función tau de Ramanujan, que es el coeficiente de $q^n$ en la serie de potencias $q \Pi_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^{24}$ . Hecke demostró que si $n$ es un número entero positivo, el número de vectores de longitud $\sqrt{2n}$ en la red de Leech es $\frac{65520}{691}( \sigma_{11}(n) - \tau(n) )$ . La integralidad de este número implica la congruencia de $\sigma_{11}(n)$ y $\tau(n)$ módulo 691, pero esta congruencia se llama a menudo congruencia de Ramanujan. Ramanujan trabajó antes de que se descubriera la red de Leech, así que debió de tener alguna otra forma de demostrar la congruencia. ¿Cómo la demostró?
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Algunos comentarios históricos no están de más. Los escribo sin comprobar los hechos.
Ramanujan publicó su trabajo en 1916 con el modesto título de Sobre algunas funciones aritméticas . Hizo una serie de conjeturas sobre la $\tau$ -función como $\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)$ siempre que $\gcd(m,n)=1$ y una fórmula recursiva para $\tau(p^{r+2})$ en términos de $\tau(p^{r+1})$ y $\tau(p^r)$ para primos $p$ .
Mordell las demostró en 1918 con métodos que prefiguran el uso de los operadores de Hecke. Ahora son una consecuencia de la teoría de Hecke cuando se observa que el $\Delta$ -es una eigenforma cuspidal primitiva de peso $12$ y nivel $1$ . Todo esto fue antes del descubrimiento del entramado de Leech por Witt en 1940 (inédito, pero véase su Documentos recopilados ).
Ramanujan hizo una segunda serie de conjeturas sobre congruencias satisfechas por $\tau(n)$ modulo $2^{11}$ , $3^7$ , $5^3$ , $7$ , $23$ y $691$ algunas de las cuales demostró (por ejemplo, para $691$ ). Fue pensando en estas congruencias, y en el planteamiento de Swinnerton-Dyer al respecto (véase Formas modulares en una variable y la charla de Serre en el seminario Delange-Pisot-Poitou) que llevó a Serre a principios de los 70 a la conjetura de que existe una $l$ -adic ( $l$ prime) representación de $\operatorname{Gal}(\bar Q|Q)$ unida a toda eigenforma cuspidal primitiva --- conjetura demostrada por Deligne (ver su charla Bourbaki).
Estas congruencias también llevaron a Serre a formular la primera forma de su conjetura sobre la modularidad de las representaciones irreducibles de impar $\operatorname{Gal}(\bar Q|Q)\rightarrow\operatorname{GL}_2(\bar F_l)$ que ha sido demostrado recientemente por Khare y Wintenberger.
La tercera conjetura hecha por Ramanujan fue la estimación $|\tau(p)|\leq 2p^{11/2}$ fue finalmente demostrada en los años 70 por Deligne como consecuencia de su demostración de las conjeturas de Weil.
Hay una conjetura que ni siquiera Ramanujan hizo. Se refiere a la distribución de los números $\tau(p)/2p^{11/2}$ en el intervalo $[-1,1]$ . La conjetura de Sato-Tate afirma que estos números están equidistribuidos con respecto a la medida $(2/\pi)\sqrt{1-t^2}\,dt$ y esto ha sido finalmente demostrado muy recientemente por T. Barnet-Lamb, D. Geraghty, M. Harris y R. Taylor (véase la página de Taylor en Harvard).
En realidad no he leído el artículo original de Ramanujan, que aparece en \bib {MR2280843}{collection} autor={Ramanujan, Srinivasa}}, title={Documentos recopilados de Srinivasa Ramanujan}, note={Editado por G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar y B. M. Wilson; Tercera impresión del original de 1927; Con un nuevo prefacio y comentario de Bruce C. Berndt}, editor={AMS Chelsea Publishing, Providence, RI}, date={2000}, pages={xxxviii+426}, isbn={0-8218-2076-1}, revista={ \MR {2280843 (2008b:11002)}}, }
Sin embargo, Ramanujan estaba ciertamente familiarizado con las formas modulares y la prueba "estándar" de esta congruencia utiliza sólo formas modulares. A saber, la función $\Delta(z) = \sum_n \tau(n)q^n$ (donde $q = e^{2\pi i z}$ ) y la serie de Eisenstein $G_{12}(z) = -\frac{B_{12}}{24} + \sum_n \sigma_{11}(n)q^n$ son ambas formas modulares para $\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$ de peso doce. Se puede demostrar que satisfacen la relación lineal $$ \Delta = G_{12} + \frac{691}{156}\left( \frac{E_4^3}{720} +\frac{E_6^2}{1008}\right)$$ por un método estándar de formas modulares: se calcula la dimensión del espacio de formas modulares de peso dado (en este caso dimensión dos), luego se producen más formas modulares de este peso que la dimensión, y entonces basta demostrar una relación como la anterior para finitamente muchos coeficientes de Fourier para demostrarla para todos ellos.
Igualando los coeficientes de Fourier en la ecuación anterior y reduciendo en módulo 691 se obtiene la congruencia de Ramanujan. (Nota: los coeficientes de Fourier de $E_4$ y $E_6$ son números enteros).
Una buena referencia es la parte del libro de Don Zagier "The 1-2-3 of Modular Forms".
