El teorema de suspensión de Fredenthal afirma que el homomorfismo de suspensión $\pi_{n+k}(S^n) \to \pi_{n+k+1}(S^{n+1})$ es un isomorfismo para $n > k + 1$ .
En $n = 3$ y $k = 1$ vemos que el homomorfismo de suspensión $\pi_4(S^3) \to \pi_5(S^4)$ es un isomorfismo como $3 > 1 + 1$ .
Como seguimos tomando el homomorfismo de suspensión, mantenemos el mismo valor de $k$ pero $n$ aumenta, por lo que $n > k + 1$ sigue siendo cierto y, por tanto, los homomorfismos serán isomorfismos. Es decir, obtenemos
$$\pi_4(S^3) \cong \pi_5(S^4) \cong \pi_6(S^5) \cong \pi_7(S^6) \cong \dots$$
Este grupo, sea cual sea, es lo que llamamos grupo homotópico estable $\pi_1^S = \pi_1^S(S^0)$ . En este caso, el grupo es $\mathbb{Z}_2$ por lo que escribiríamos $\pi_1^S \cong \mathbb{Z}_2$ .
Nota, cuando $n \leq k + 1$ los grupos $\pi_{n+k}(S^n)$ y $\pi_{n+k+1}(S^{n+1})$ pueden no ser isomorfas, y por tanto $\pi_k^S$ puede no ser isomorfo a $\pi_{n+k}(S^n)$ para cada $n$ . Por ejemplo, $\pi_3(S^2) \cong \mathbb{Z}$ pero $\pi_4(S^3) \cong \mathbb{Z}_2 \cong \pi_1^S$ .
Sin embargo, $\pi_k^S \cong \pi_{n+k}(S^n)$ para $n > k + 1$ lo que justifica la notación
$$\pi_k^S \cong \lim_{n\to\infty}\pi_{n+k}(S^n) = \lim_{n\to\infty}\pi_{n+k}(\Sigma^nS^0).$$
En particular, $\pi_k^S \cong \pi_{2k+2}(S^{k+2})$ ; el caso anterior corresponde a $k = 1$ .
En general, para un $(n-1)$ -complejo CW conectado $X$ el homomorfismo de suspensión $\pi_k(X) \to \pi_{k+1}(\Sigma X)$ es un isomorfismo para $k < 2n-1$ .
Supongamos $X$ es un complejo CW y consideremos la secuencia de homomorfismos de suspensión
$$\pi_k(X) \to \pi_{k+1}(\Sigma X) \to \pi_{k+2}(\Sigma^2 X) \to \pi_{k+3}(\Sigma^3 X) \to \dots$$
Tenga en cuenta que $\Sigma^n X$ es $(n-1)$ -por lo que el homomorfismo de suspensión $\pi_{k+n}(\Sigma^n X) \to \pi_{k+n+1}(\Sigma^{n+1} X)$ es un isomorfismo para $k + n < 2n - 1$ (es decir $n > k + 1$ ). Por lo tanto, vemos que
$$\pi_{2k+2}(\Sigma^{k+2} X) \cong \pi_{2k+3}(\Sigma^{k+3} X) \cong \pi_{2k+4}(\Sigma^{k+4} X) \cong \pi_{2k+5}(\Sigma^{k+5} X) \cong \dots$$
Este grupo es el grupo homotópico estable $\pi_k^S(X)$ y uno escribe
$$\pi_k^S(X) = \lim_{n\to\infty}\pi_{n+k}(\Sigma^n X).$$
Tenga en cuenta que $\pi_k^S(X) \cong \pi_{2k+2}(\Sigma^{k+2}X)$ .
Desde este punto de vista, el grupo de homotopía estable que se intentaba calcular era $\pi_4^S(S^3)$ por lo que se escribiría $\pi_4^S(S^3) \cong \mathbb{Z}_2$ . Para ver que $\pi_4^S(S^3)$ coincide con $\pi_1^S = \pi_1^S(S^0)$ Obsérvese que para $i < k$
$$\pi_k^S(\Sigma^i X) = \lim_{n\to\infty}\pi_{n+k}(\Sigma^n\Sigma^i X) = \lim_{n\to\infty}\pi_{n+k}(\Sigma^{n+i} X) = \lim_{n\to\infty}\pi_{(n+i)+(k-i)}(\Sigma^{n+i} X) = \lim_{N\to\infty}\pi_{N + (k-i)}(\Sigma^N X) = \pi_{k-i}^S(X).$$
Por lo tanto, $\pi_4^S(S^3) = \pi_4^S(\Sigma^3 S^0) = \pi_1^S(S^0) = \pi_1^S$ .
