Lo que Arnold describe (de forma ligeramente oblicua) es la teoría de las curvas algebraicas. La idea es que si uno quiere integrar alguna expresión racional $R(x,y)dx + S(x,y) dy$ sobre la curva $f(x,y) = 0$ entonces la pregunta de si se puede encontrar una antiderivada en términos de funciones elementales tiene una respuesta positiva o negativa dependiendo de si el género geométrico de la curva $f(x,y) = 0$ es cero o positivo.
Una dirección no es tan difícil de ver directamente: si $f(x,y) = 0$ tiene género geométrico cero, esto significa que podemos trazar esta curva en términos de un único parámetro, es decir. podemos encontrar expresiones paramétricas $x = x(t)$ y $y = y(t)$ para que $f(x(t),y(t)) = 0$ . Entonces si reescribimos la integral en términos de la variable $t$ El cálculo integral básico (la regla de sustitución) nos permite reescribir el integrando como una función racional de $t$ y podemos integrar una función racional en términos de funciones elementales.
Lo que es menos obvio es que si $f(x,y) = 0$ tiene género geométrico positivo, entonces es no posible encontrar tal parametrización de la curva (esto es una afirmación no trivial), y es no posible encontrar una antiderivada elemental (esto está relacionado con la afirmación anterior, pero es otra deducción no trivial).
El primer ejemplo es la curva $y^2 = (1-x^2)(1-kx^2)$ (aquí $k$ es una constante, ni 0 ni 1), siendo la integral $\int dx/y = \int dx/\sqrt{(1-x^2)(1 - kx^2)}$ . Esto es lo que se llama una integral elíptica, y (durante más o menos 150 años, a partir de la invención de del cálculo) se intentó encontrar una expresión elemental para ella, hasta que finalmente Abel y Jacobi demostraron que no era posible, porque esta curva tiene género geométrico uno.
Si no sabes nada de geometría algebraica, un buen lugar para empezar es "Undergaduate algebraic geometry" de Miles Reid. El teorema que necesitas es el que dice que no existe un mapa racional de una curva de género cero a una curva de género positivo, que estoy bastante seguro está demostrado en ese libro, al menos para curvas de género uno. (No es tan difícil pasar de este teorema en el caso de curvas suaves a la al caso de curvas singulares, pero será más difícil encontrar un tratamiento de las curvas caso de curvas singulares, que es a lo que se refiere Arnold cuando menciona los puntos dobles). Dependiendo del nivel en el que estés empezando, puedes consultar una de las hojas de ruta de geometría algebraica en Mathoverflow; hay una en la que se pide una hoja de ruta para el aprendizaje de la geometría algebraica en la licenciatura, y otra en la que se pide una hoja de ruta para el posgrado.
Si ya sabes algo de geometría algebraica, entonces lo que quieres es una fuente histórica que relacione la geometría que conoces con sus orígenes históricos. Dieudonné escribió una historia de la geometría algebraica, en la que seguramente se habla de esto. También habrá muchas otras históricas. Para obtener la mejor guía de la literatura histórica, es posible que desee preguntar en Mathoverflow, donde probablemente habrá más gente leyendo que están familiarizados con los tratamientos históricos de la teoría.
Debo decir que si se parte de una posición en la que no se conoce la geometría algebraica, entonces llevará algún tiempo y esfuerzo aprender lo que se necesita para comprender plenamente lo que Arnold está discutiendo, especialmente a partir de un libro de texto estándar (que probablemente no procederá en línea recta hacia donde usted quiere ir, sino que desarrollará una teoría más general, que luego se especializará en la situación que le interesa).
Así que aunque esa sea tu situación, te recomiendo que también hagas alguna lectura histórica, para tener una mejor idea de qué partes de un libro de geometría algebraica necesitarás leer para satisfacer tu interés en la afirmación de Arnold.
