¿Puedo comparar una serie que comienza con $n=0$ a uno que empiece por $n=1$ ?

Question

Estoy haciendo una pregunta para los deberes y tengo que utilizar la prueba de comparación para comprobar la convergencia.

La serie en cuestión es:

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac {n-1}{{(n+2)}^3} $$

La serie con la que me gustaría compararla es:

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac 1{{n}^2} $$

Mi razonamiento para querer usar esta serie es porque es una serie convergente p -que es más grande que la serie que estoy tratando de probar, pero no estoy seguro si puedo usarla como comparación debido a su divergencia con $ \infty $ a n=0. Recuerdo que con los límites lo importante es su comportamiento como $ n\to\infty$ ¿también se aplica a la comparación de series?

Edición: ¡Gracias a todos los que han respondido! Cada uno contribuyó a mi comprensión :)

Answer 1

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac {n-1}{(n+2)^3} = \underbrace{\frac{0-1}{(0+2)^3}}_{\text{The }n=0\text{ term}} + \underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac {n-1}{(n+2)^3}}_{\text{The other terms}} $$

La cuestión de si la serie de la izquierda converge es la misma que la de si la serie de la derecha, con sólo los términos distintos de aquel en el que $n=0$ converge. Se puede comparar que con las otras series.

Answer 2

Lo tenemos:

$$ \sum_{n=0}^N \frac{n-1}{{(n+2)}^3} = \frac{0-1}{{(0+2)}^3} + \sum_{n=1}^N \frac {n-1}{{(n+2)}^3} = -\frac{1}{8}+ \sum_{n=1}^N \frac {n-1}{{(n+2)}^3} $$

Por lo tanto, la serie que comienza en $n=0$ y que a partir de $n=1$ convergen juntos o divergen juntos. Esto es cierto para cualquier índice inicial, ya que la diferencia es siempre finita.

Answer 3

Sí, puedes compararlos. Si quieres demostrarlo con rigor, introduce n+1 en lugar de n en la segunda función sigma, y luego aplica la prueba de comparación.

Answer 4

Sí se puede, porque para comparar la primera $N$ los términos no importan, para cualquier $N$ .

Alternativamente, en la primera expresión, podría dejar que $m=n+1$ y entonces su primera serie es $\displaystyle\sum_{m=1}^\infty \frac{m-2}{(m+1)^2}$ .

Answer 5

Dado que la adición o sustracción de una cantidad finita de sumandos preserva la convergencia de la serie, se puede separar el término con $n=0$ y luego aplicar la prueba de comparación