Orden del producto de elementos de orden finito de un grupo

Question

Si los elementos $a$ y $b$ de un grupo son de orden finito, ¿qué podemos decir del orden de $ab$ ?

Answer 1

Si $a$ y $b$ conmuta, es decir $ab=ba$

Si $a^n=b^m=e$ entonces $(ab)^{\gcd{m,n}}=a^{\gcd(m,n)}b^{\gcd(m,n)}=e$ .

Contraejemplo para el caso no conmutativo

Sea $G$ sea el grupo de rango $2$ con las relaciones adicionales $a^2=b^2=1$ . Entonces, $(ab)^n=abababab\ldots ab$ es un elemento distinto de cero para cada $n$ por lo tanto, el orden de $ab$ es infinito.