Sobre la mentalidad matemática

Question

Estoy a punto de graduarme en bachillerato con inclinación hacia las matemáticas. Me gustan las matemáticas y se me dan relativamente bien, pero no me gusta la forma en que me las enseñan. Siento que me están enseñando métodos para resolver muchos problemas, pero no veo cómo encaja nada de esto.

Estaba pensando en seguir una carrera de matemáticas, pero me di cuenta de que en realidad no sé mucho sobre ellas en su conjunto, a diferencia de cómo resolver problemas específicos que aparecerán en algún examen.

¿Hay algún buen libro sobre la "mentalidad matemática", o como se llame?

Answer 1

Desgraciadamente, un enfoque muy popular de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria consiste en restar importancia a los conceptos y centrarse más en los aspectos memorísticos y procedimentales de la asignatura. No creo que a mucha gente le guste este tipo de educación, pero es uno de los enfoques más sencillos de la enseñanza. Lo positivo es que, al centrarse en los procedimientos, se dispone de un método sistemático para evaluar los progresos de los alumnos. En cierto sentido, se trata de un modo de enseñanza dictado en gran medida por el deseo de disponer de un medio de evaluación cómodo, más que por mantener el interés de los alumnos o enseñarles cosas valiosas. Se espera que, aprendiendo de memoria suficientes procedimientos, los conceptos subyacentes se incorporen como por arte de magia. Creo que esto funciona para muchos alumnos, pero en general es insatisfactorio para casi todos los implicados. Enseñar matemáticas de cualquier otra manera con medidas objetivas de éxito similares suele consumir mucho más tiempo y energía a todos los implicados, por lo que yo sé.

Para complementar las muy agradables sugerencias de Sam Nead, disfruté leyendo "Introducción a los sistemas dinámicos caóticos" de Devaney. No recuerdo exactamente cuándo lo cogí, puede que fuera en el 12º curso o en el primer año de universidad. Algunas partes me sobrepasaban en aquel momento, pero pude digerir gran parte del contenido, lentamente. En ese sentido, creo que es útil adoptar un enfoque no lineal del aprendizaje. Es útil tener como objetivo comprender algún tema de alto nivel, y tener una hoja de ruta mental sobre cómo vas a llegar allí. Pero no hay que ser demasiado agresivo. Alrededor del grado 12, el texto de Devaney fue muy útil para mí. Es un libro que se puede utilizar tanto para cursos de posgrado como para cursos de grado superior. Así que probablemente lo verás como varios pasos por delante de lo que estás acostumbrado. Pero está bien escrito y motivado. Digiere lo que puedas, ve más despacio y piensa en los aspectos que te parezcan difíciles, quizá vuelvas a ellos unos meses más tarde. Intenta algunos de los problemas más divertidos al final de las secciones. Haz algunos experimentos con el ordenador. Ese tipo de cosas.

Answer 2

He pasado MUCHO tiempo en la biblioteca de matemáticas de Rutgers hojeando todos los libros, y nunca he encontrado un libro sobre la "mentalidad matemática" que fuera medianamente decente. Podrías hacer mucho peor que leer stack exchange todos los días y convertirte en un asiduo de este foro; todo el mundo aquí es realmente útil y no deberías tener miedo de publicar una pregunta "tonta" por miedo a pasar vergüenza; lo único que molesta a la gente aquí es cuando alguien no pone una cantidad suficiente de pensamiento/esfuerzo en el problema antes de preguntar, o bien cuando la pregunta que se hace está claramente fuera de tema.

Creo que hablar con matemáticos sobre problemas concretos en los que estás trabajando te dará una visión mucho más profunda de cómo piensan los matemáticos que leer algún libro de bajo nivel para un público popular.

Lo más importante en mi opinión no es el libro que finalmente elijas, sino la actitud de que siempre debes intentar resolver TODOS y CADA UNO de los problemas de cualquier libro de matemáticas que leas. Deberías pasar más tiempo resolviendo los problemas que leyendo las secciones.

Le recomiendo que lea "A survey of modern algebra" de Birkhoff y Mclane. El nivel de dificultad es bastante bajo, y los problemas son numerosos e instructivos. Una de las razones por las que te recomiendo tanto este libro en concreto es que el "álgebra moderna" no sólo tiene una importancia fundamental para las matemáticas contemporáneas, sino que además no se suele enseñar en los institutos, por no mencionar que muchos de los resultados son preciosos. Otra cosa estupenda de este libro en concreto es que los autores son matemáticos famosos, y puedes averiguar cómo piensan sobre las matemáticas simplemente viendo la organización de cómo se presenta el material y cómo se derivan los resultados. El primer capítulo de este libro trata de la teoría de números, pero en realidad contiene una muy buena introducción a la escritura de demostraciones lógicas y rigurosas.

Creo que deberías limitarte a leer libros sobre temas específicos y elegir el tema que vas a estudiar en función de tus intereses actuales y tu nivel de conocimientos. Algunos temas para empezar son:

teoría de conjuntos, espacios métricos, análisis complejo, teoría de grupos, teoría de números

Una cosa que quizá quieras probar es leer algunos libros de los grandes maestros. Por ejemplo, hay un gran libro de teoría de conjuntos de Frankel (que da nombre a los axiomas de la teoría de conjuntos), y un gran libro de teoría de números de Sierpinski; recomiendo ambos no sólo porque están muy bien escritos y son básicamente de nivel de bachillerato, sino porque te darán una idea de cómo pensaban los grandes maestros de las matemáticas. Por último, si te sientes seguro de ti mismo, consulta las Disquisiciones aritméticas de Gauss para probar suerte.

Permítanme mencionar también una recopilación de escritos para un público popular de Henri Poincare titulada "El valor de la ciencia". Una gran parte de este libro trata de física, pero hay dos pasajes en particular a los que deberías prestar atención para entender la "mentalidad matemática": el primero es la discusión de la inducción, y el segundo es una sección bastante famosa en la que Poincare discute el proceso psicológico interno que experimentó al resolver un problema altamente técnico.

Mucha suerte.

Answer 3

Creo que ciertas partes de The Princeton Companion to Mathematics puede ser justo lo que necesitas. Aunque muchos de los temas pasarán por encima de su cabeza en este momento, hay una introducción muy lúcida a la historia y los puntos de vista básicos de las matemáticas modernas en las Partes I y II, así como un montón de interesantes panoramas históricos y ensayos en las Partes VI y VIII. Y, por supuesto, gran parte del libro está repleto de matemáticas fascinantes.

Answer 4

He aquí otros clásicos que pueden resultarle inspiradores e instructivos: Polya: Cómo resolverlo; Rademacher y Toeplitz: El disfrute de las matemáticas; Kac y Ulam: Matemáticas y Lógica.