¿Convergen las medidas empíricas débilmente a la medida casi segura? En particular, supongamos $\mu$ es una medida de probabilidad de Borel sobre $\mathbb R^d$ y que $X_1,X_2,\dots$ son IID extraídos de $\mu$ . Sea $\hat\mu_N=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\delta_{X_i}$ . La ley fuerte de los grandes números dice que $\mathbb P(\hat\mu_N(A)\to\mu(A))=1$ para cada $A$ . Por otra parte, la convergencia débil casi segura sería que $\mathbb P(\hat\mu_N(A)\to\mu(A)\text{ for every continuity set $ A $})=1$ . ¿Es cierta esa afirmación?
Nótese que esto es muy diferente de la afirmación más fuerte $\mathbb P(\sup_{\text{continuity set $ A $}}\left|{\hat\mu_N(A)-\mu(A)}\right|\to0)=1$ lo que requeriría que los conjuntos de continuidad constituyeran una clase Glivenco-Cantelli, algo que sólo ocurre en $d=1$ según tengo entendido.
Aplicación de la ley cero-uno de Hewitt-Savage ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hewitt%E2%80%93Savage_zero-one_law ) está claro que $\mathbb P(\hat\mu_N(A)\to\mu(A)\text{ for every continuity set $ A $})$ es $1$ o $0$ y en ningún punto intermedio. ¿Podemos argumentar que no puede ser $0$ ?
Si esto no es cierto en general, ¿existen condiciones suficientes razonables sobre $\mu$ que garantizaría una convergencia débil casi segura de $\hat\mu_N$ ? Mi impresión es que algo como la compacidad del soporte debería bastar.
Gracias.
