Tengo una definición que afirma que dos conjuntos son iguales A = B, si y sólo si:
$\forall x ( x \in A \leftrightarrow x \in B)$
Un conjunto vacío no contiene ningún elemento. Si defino los conjuntos
A = $\emptyset$
B = $\emptyset$
entonces puedo concluir que A $\neq$ B? ¿Ya que no contienen elementos? ¿O tendría que demostrar que existe un elemento en una pero no en la otra? A mí me parece que no son iguales, pero me cuesta entenderlo.
Gracias,
Paul
Para demostrar que dos conjuntos son equivalentes, hay que demostrar que $A\subseteq B$ y $B\subseteq A$ . Esto implica que $A=B$ . Si $A=\varnothing$ y $B=\varnothing$ y luego intentar una prueba de búsqueda de elementos para demostrar que $A=B$ .
( $\to$ ): Si $x\in A$ entonces $x\in B$ . Así, $A\subseteq B$ . $\qquad$ [ Vacuamente cierto ]
( $\leftarrow$ ): Si $x\in B$ entonces $x\in A$ . Así, $B\subseteq A$ . $\qquad$ [ Vacuamente cierto ]
Así, por inclusión mutua de subconjuntos, tenemos que $A=B$ .
Sin embargo, esta conclusión es bastante floja, ya que es un ejemplo de una supuesta vacuo verdad. La implicación $p\to q$ sólo es falso cuando $p$ es verdadera y $q$ es falso. Por lo tanto, suponer que cualquier cosa está en un conjunto vacío te dará todo tipo de conclusiones extrañas.
Adenda: Parte de la confusión parece tener su origen en lo que significa ser un subconjunto frente a un elemento. Por lo tanto, voy a enumerar varias afirmaciones en las que el objetivo es averiguar si la afirmación es verdadera o falsa (espero que esto pueda ayudar al OP y a algunos otros usuarios). Las respuestas se proporcionarán al lado de cada afirmación.
Reclamaciones:
(a) $0\in\varnothing\qquad\qquad$ [ Falso ]
(b) $\varnothing\in\{0\}\qquad\qquad$ [ Falso ]
(c) $\{0\}\subset\varnothing\qquad\qquad$ [ Falso ]
(d) $\varnothing\subset\{0\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(e) $\{0\}\in\{0\}\qquad\qquad$ [ Falso ]
(f) $\{0\}\subset\{0\}\qquad\qquad$ [ Falso ]
(g) $\{\varnothing\}\subseteq\{\varnothing\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(h) $\varnothing\in\{\varnothing\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(i) $\varnothing\in\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(j) $\{\varnothing\}\in\{\varnothing\}\qquad\qquad$ [ Falso ]
(k) $\{\varnothing\}\in\{\{\varnothing\}\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(l) $\{\varnothing\}\subset\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(m) $\{\{\varnothing\}\}\subset\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(n) $\{\{\varnothing\}\}\subset\{\{\varnothing\},\{\varnothing\}\}\qquad\qquad$ [ Falso ]
Nota: Abajo, $x$ es simplemente para denotar un carta , no un conjunto (que suele indicarse escribiendo una letra mayúscula, como se hizo en la explicación inicial). Para (t) , si $x$ denotan un conjunto, entonces $x=\varnothing$ haría (t) verdadero en lugar de falso.
(o) $x\in\{x\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(p) $\{x\}\subseteq\{x\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(q) $\{x\}\in\{x\}\qquad\qquad$ [ Falso ]
(r) $\{x\}\in\{\{x\}\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(s) $\varnothing\subseteq\{x\}\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
(t) $\varnothing\in\{x\}\qquad\qquad$ [ Falso ]
(u) $\varnothing\in\varnothing\qquad\qquad$ [ Falso ]
(v) $\varnothing\subseteq\varnothing\qquad\qquad$ [ Verdadero ]
Pero $A\nsubseteq B$ ya que A y B = {} y un subconjunto de {} es { $\varnothing$ y esos no son iguales, ¿correcto?
@PaweCzopowik $\{\}$ es muy diferente de $\{\varnothing\}$ [la primera es el conjunto vacío mientras que el segundo es el conjunto con el conjunto vacío como elemento]. En general, $A\subseteq A$ Así que.., $\varnothing\subseteq\varnothing$ o, de manera similar, $\{\}\subseteq \{\}$ . Creo que estás mezclando lo que significa ser un elemento de un conjunto y un subconjunto de un conjunto.
Eso lo entiendo. Mi libro dice que un conjunto vacío {} tiene sólo un subconjunto que es él mismo, por lo tanto $\{\varnothing\}$ . Por lo tanto, $A\nsubseteq B$ .
Por definición, dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos. Si $A$ está vacío y $B$ está vacío, entonces $A$ y $B$ tienen exactamente los mismos elementos, por lo que $A=B$ . Sólo hay un conjunto vacío, y es el mismo conjunto tanto si se describe como $\{\}$ como el conjunto de números enteros que son a la vez Impares y pares, o como el conjunto de seres humanos vivos sobre $20$ pies de altura.
Desde $A=\varnothing$ no $x$ se puede encontrar tal que $x\in A$ .
Esto implica que ningún $x$ se puede encontrar tal que $x\in A$ y $x\notin B$ .
Conclusión: para cada $x\in A$ tendremos $x\in B$ o de forma equivalente $A\subseteq B$ .
Igualmente encontramos: $B\subseteq A$ .
Si una caja no contiene ninguna rana, entonces es cierto que todas las ranas de la caja son azules. Simplemente porque no se puede encontrar ninguna rana en ella que no sea azul. De la misma manera, encontramos que cada elemento en $\varnothing$ pertenece al conjunto $B$ .
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Ciertamente, la afirmación es válida para todos los $x$ ya que no hay $x$ s para empezar.
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Vaya, gracias por todas las respuestas, ¡no las esperaba tan rápido! Permítanme digerirlas :)
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Ok, todo tiene sentido. Todas las respuestas han sido muy útiles. Creo que estaba atrapado en un bucle mental :)
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Si sabes que la igualdad entre conjuntos es una transitivo relación, entonces si se supone $A=\emptyset$ y $\emptyset=B$ se le permite llegar a la conclusión de que $A=B$ de eso, por transitividad. Así que tal vez su pregunta es más como: ¿qué pasa si hay dos conjuntos vacíos, digamos $A=\emptyset_1$ y $B=\emptyset_2$ ¿podemos saber que son iguales? Una vez comprobado esto, podemos acordar que $\emptyset$ denotan el único conjunto vacío.
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Ver también La verdad vacía en Wikipedia.