Interpretación de la fórmula de la suma de Poisson

Question

Esta pregunta surge de una clase de transformada de Fourier que di hace un año.

La fórmula de la suma de Poisson es:

$$\displaystyle \sum_{n= - \infty}^{\infty} f(n) = \displaystyle \sum_{k= - \infty}^{\infty} \hat{f}(k)$$

donde $\hat{f}$ es la transformada de Fourier de $f(x)$ .

Es interesante ya que esto es cierto para todos $f(x)$ para la que podemos definir la transformada de Fourier.

¿Hay alguna interpretación agradable (probablemente física) para esto?

Me pregunto si esto caracteriza alguna propiedad que es invariante, algún tipo de conservación.

Por ejemplo, si consideramos el teorema de Parseval, una interpretación del mismo es que la energía total a lo largo de todo el tiempo es la energía total a través de todos sus componentes de frecuencia.

Además, desde un punto de vista matemático, ¿qué significa esto? ¿Es una manifestación de alguna propiedad de los números enteros?

Answer 1

La fórmula no trata de los enteros en el sentido de que no implica su estructura multiplicativa; más bien trata de cómo los enteros se sitúan dentro de los reales como subgrupo discreto. Esto se puede ver en la forma en que la fórmula se generaliza a $\mathbb{Z}^n$ sentado dentro $\mathbb{R}^n$ o más en general en cómo se generaliza a la Fórmula de trazas de Selberg . La fórmula de la traza deja claro que la suma de Poisson es un hecho teórico de la representación; de hecho, uno de sus casos especiales es la reciprocidad de Frobenius.

Answer 2

Quiero añadir algo a las respuestas anteriores:

Imagen física: La fórmula sumatoria de Poisson da el Flujo de calor en el círculo $\mathbb{R} / \mathbb{Z}$ cuando se aplica a $e^{-x^2 t}$ en el círculo, que es una ley de transformación para el núcleo de calor

$$ \sum\limits_{n} e^{-n^2 t} = \frac{1}{{2 \pi t}} \sum\limits_{n} e^{-n^2/4 t}.$$

Imagen de la teoría de números: $$ \theta ( t ) = \sum\limits_{n} e^{-n^2 i t} $$ puede definirse para $\Im t >0$ y es una función modular. Usando esto se obtiene una buena prueba de la ecuación funcional para la función zeta de Riemann.

Imagen de la teoría de la representación: La fórmula de la suma de Poisson es válida en general para los grupos abelianos compactos locales. La fórmula de la traza de Selberg la generaliza a grupos no conmutativos y subgrupos discretos cocompactos.

Geometría (algebraica): De él se deduce el teorema de Riemann Roch para campos de funciones, que puede verse como un teorema del índice.

Answer 3

En QM la fórmula sumatoria POISSON se interpreta como la densidad de energías

$ \rho (E)= \sum_{n=0}^{\infty}\delta (x-n^{2} \pi ^{2}) $ del operador hamiltoniano

$ H=p^{2} =-\hbar^{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}}y(x)$ con condiciones de contorno $y(0)=0=y(1)$

Answer 4

Si quieres analogías de la ingeniería eléctrica, una posible forma de entender las consecuencias de la suma de Poisson es la Teorema de muestreo de Nyquist . Dice que el muestreo periódico de una señal basta para captar todas las señales cuya frecuencia es inferior o igual a la mitad de la frecuencia de muestreo.

Answer 5

La fórmula de la suma de Poisson no es más que una extensión de la serie de Fourier. La única diferencia es que las series de Fourier son para funciones periódicas. Pero en la fórmula de la suma de Poisson, f(n) son funciones no periódicas (o puedes llamarlas función base).