En el libro Random Walks and Heat Kernels on Graphs de M.T. Barlow, en la demostración del teorema 3.26, que la desigualdad isoperimétrica se cumple para $\mathbb{Z}^d$ el autor afirma que podemos elegir y $r$ tal que $\frac{1}{4} r^d \leq \mu(A) \leq \frac{1}{2} r^d$ con $A \subset \mathbb{Z}^d $ finito.
Aquí $\mu(A) := \sum_{x \in A}\sum_{y \in V} \mu_{xy}$ y suponemos que $\mu_{xy} = 1$ si $x$ es vecino de $y$ y $0$ de lo contrario.
Dado que más adelante exigimos que podamos elegir $d$ -dim. cubos que contienen $r^d$ puntos asumo que $r\in \mathbb{N}$ . Sin embargo no veo cómo se puede demostrar que efectivamente para cada subconjunto finito $A$ tal $r$ existe.
Ya he intentado elegir un $r$ vía $\lceil (2\mu(A))^{1/d} \rceil$ donde, sin embargo, tuve problemas con el exponente.
Un enfoque alternativo consistiría en demostrar la afirmación, posiblemente más contundente, de que $\mathbb{N}\subset \bigcup_{r\in \mathbb{N}}[\frac{1}{4}r^d,\frac{1}{2}r^d ]$ lo cual tampoco sé cómo demostrar o refutar.
Muchas gracias por su ayuda.
