Calcule $1+2+\ldots+(i-1)+(i-1)+(i+1)+(i+2)+\ldots+(j-1)+(j-1)+(j+1)+(j+2)+\ldots+n$

Question

Sea $n\in \mathbb{N}, i<j<n$ calcula:

$$1+2+\ldots+(i-1)+(i-1)+(i+1)+(i+2)+\ldots+(j-1)+(j-1)+(j+1)+(j+2)+\ldots+n$$

cuántos términos hay aquí creo que deberíamos hacer la suma del primer $n-2$ ¿condiciones?

Answer 1

Tenemos:

$$\begin{equation*} \sum_{k=1}^nk = 1+ \cdots + (i-1)+i+(i+1)+\cdots+(j-1)+j+(j+1)+\cdots +n = \frac{n(n+1)}{2} \end{equation*}$$

Nos pides que calculemos:

$$\begin{equation*} 1 + \cdots + (i-1) + (i-1) + (i+1) + \cdots + (j-1)+(j-1)+ (j+1) + \cdots + n \end{equation*}$$

Esto es precisamente $\frac{n(n+1)}{2}-2$ .

Answer 2

Eso es trivial. Tienes una suma gaussiana menos dos unidades. Es sólo cuestión de interpretar y reescribir los términos. Tenga en cuenta que

$$\begin{align} &1 + \cdots + (i-1) + (\color{red}{i}-\color{red}{1}) + (i+1) + \cdots + (j-1)+(\color{blue}{j}-\color{blue}{1})+ (j+1) + \cdots + n\\ &= \left[1 + \cdots + (i-1) + \color{red}{i} + (i+1) + \cdots + (j-1)+\color{blue}{j}+ (j+1) + \cdots + n\right] -\color{red}{1}-\color{blue}{1}\\ &= \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]-2 \end{align}$$