Álgebra con operadores diferenciales (Formas alternativas del Laplaciano en coordenadas esféricas)

Question

Dada es la siguiente: $$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left( r \, f \right)$$

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo llegar al término de la derecha? $\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left( r \, f \right)$ del término izquierdo $\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right)$ o el término medio $\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r}$ ?

Utilizando la regla del producto puedo obtener fácilmente a partir del término de la izquierda $\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right)$ al término medio $\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r}$ . Y también puedo obtener del término de la derecha $\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left( r \, f \right)$ al término medio. Así puedo comprobar que la relación dada es cierta. Pero no sé cómo llegar al término de la derecha.

Fondo : El Laplaciano en coordenadas esféricas $( r ,\vartheta ,\phi )$ es

$$\Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left(\sin\vartheta \, \frac{\partial f}{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}\,.$$

Algunos problemas son más fáciles de resolver cuando el primer término está en una de las formas alternativas dadas anteriormente. Sin embargo, no quiero memorizar las tres formas. Quiero recordar sólo la primera forma y, si necesito las otras, deducirlas con un poco de álgebra.

Answer 1

Se puede demostrar que: $$\begin{align}\tag{1} \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) &= \frac{1}{r^{2}} \, \left( r^{2} \, \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} + 2 \, r \, \frac{\partial f}{\partial r} \right) \\ &= \frac{\partial^{2} f}{ \partial r^{2}} + \frac{2}{r} \, \frac{\partial f}{\partial r} \end{align}$$ et $$\begin{align} \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left( r \, f \right) &= \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial r} \left( r \, \frac{\partial f}{\partial r} + f \right) \tag{2} \\ &= \frac{1}{r} \left( r \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} + 2 \, \frac{\partial f}{\partial r} \right) \\ &= \frac{\partial^{2} f}{ \partial r^{2}} + \frac{2}{r} \, \frac{\partial f}{\partial r}. \tag{3} \end{align}$$ Reordenando los términos, es decir, empezando por (1) y escribiendo en orden inverso (3) a (2), se obtiene $$\begin{align} \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left( r \, f \right) \end{align}$$