Esta es una pregunta de un examen de calificación. Deje $X$ ser una compacta, orientada a $n$-dimensiones múltiples. Demostrar que para cualquier $k \in \mathbb{Z}$, no existe un mapa continuo $f: X \to S^n$ grado $k$.
Yo estaba contento con la muy agradable solución a través de las suspensiones en cada $k \in {\mathbb Z}$ construir un mapa continuo $f: S^n \to S^n$$\deg(f) = k$. en el caso de que $X = S^n$. Parece que para esta pregunta, debería ser suficiente para mostrar que no existe un grado $\pm 1$ mapa de$X$$S^n$, y, a continuación, podemos componer con un grado $\pm k$ auto-mapa de $S^n$ para obtener un grado $k$ mapa de $X$ $S^n$(debido a que el grado de una composición de mapas es el producto de los grados de la componente de mapas).
Una idea que he tenido hasta ahora es considerar una incrustación $X \to \mathbb{R}^N \backslash \{0\}$ para algunos un gran $N$ y, a continuación, proyecto en el $n$-esfera, pero no sé cómo se garantiza que este habría grado 1. Y aunque esto no es necesario responder a la pregunta, ¿qué sería de un grado 1 mapa de $T^2 \to S^2$ incluso parece? No puedo visualizar fácilmente un mapa.
EDIT: para responder A mi propia pregunta acerca del grado 1 mapa de $T^2 \to S^2$ que es ligeramente menos "singular" de la respuesta de Jared a continuación: imaginar la esfera y el toro como su agradable mirando la bola de anillos y formas, sólo tiene que colocar la esfera en el interior del toro (es decir, en el propio tubo, no en su centro de masa) y, a continuación, el proyecto del toro en la esfera.
