Convergencia de $ \int_0^{\infty} \frac{e^{-x^2}-e^{-3x^2}}{x^a}$ .

Question

Quiero estudiar la convergencia de la integral impropia $$ \int_0^{\infty} \frac{e^{-x^2}-e^{-3x^2}}{x^a}$$ Para ello he utilizado la prueba de comparación con $\frac{1}{x^a}$ separar $\int_0^{\infty}$ en $\int_0^{1} + \int_1^{\infty}$ .

Para la primera parte, $\int_0^{1}$ Lo hice. $$\lim_{x\to0} \frac{\frac{e^{-x^2}-e^{-3x^2}}{x^a}}{\frac{1}{x^a}}=0$$ Por lo tanto $\int_0^{1}\frac{e^{-x^2}-e^{-3x^2}}{x^a}$ converge para $a<1$ ya que $\int_0^{1}\frac{1}{x^a}$ converge para $a<1$

Para la segunda parte hice lo mismo, y obtuve que $\int_1^{\infty}\frac{e^{-x^2}-e^{-3x^2}}{x^a}$ converge para $a>1$ . Esto significa que la integral impropia inicial no converge para cualquier $a$ ¿es correcto?

Answer 1

Es fácil ver que su integral se puede escribir como: $$I=\int_0^\infty e^{-x^2}x^{-a}dx-\int_0^\infty e^{-3x^2}x^{-a}dx$$ Entonces se calculan las dos partes de la integral por separado: $$\int_0^\infty e^{-x^2}x^{-a}dx\overbrace{=}^{x^2=z}\frac 12\int_0^\infty e^{-z}z^{-\frac{a-1}2}dz=\frac 12\Gamma\left(\frac{1-a}2\right)\tag{1}$$ $$\int_0^\infty e^{-3x^2}x^{-a}dx\overbrace{=}^{3x^2=z}\frac{\sqrt{3^{a+1}}}6\int_0^\infty e^{-z}z^{-\frac {a-1}2}dz=\frac{\sqrt{3^{a+1}}}6\Gamma\left(\frac{1-a}2\right)\tag{2}$$ Por lo tanto su integral es simplemente $$I=\left(\frac 12-\frac{\sqrt{3^a+1}}6\right)\Gamma\left(\frac{1-a}2\right)$$ Dónde $\Gamma(\cdot)$ es el Función gamma de Euler .

Y $I$ converge $\forall a<3$ .

Answer 2

Su problema se reduce a la informática $$ I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-z^2}}{z^\alpha}\,dz = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-z}}{z^{\frac{\alpha+1}{2}}}\,dz. $$ En una vecindad derecha del origen $\frac{1-e^{-z}}{z^{\frac{\alpha+1}{2}}}$ se comporta como $z^{\frac{1-\alpha}{2}}$ y en una vecindad izquierda de $+\infty$ se comporta como $z^{-\frac{1+\alpha}{2}}$ Por lo tanto $I(\alpha)$ es convergente en cuanto $\alpha\in(1,3)$ y en tal caso $$I(\alpha)=-\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)=-\frac{\pi}{2\cos\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)\,\Gamma\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)}.$$ Del mismo modo, la convergencia de $$ J(\alpha)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-z^2}-e^{-3z^2}}{z^\alpha}\,dz $$ sólo depende de la integrabilidad de la función integrando en una vecindad derecha del origen, y para cualquier $\alpha < 3$ tenemos $$ J(\alpha) = \color{red}{\frac{\pi\left(1-\sqrt{3^{\alpha-1}}\right)}{2\cos\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)\,\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right)}}.$$

Answer 3

En el primer caso, tenga en cuenta que para $x\to0$

$$e^{-x^2}=1-x^2+o(x^2) \quad \quad e^{-3x^2}=1-3x^2+o(x^2)$$

$$\implies \frac{e^{-x^2}-e^{-3x^2}}{x^a}= \frac{2x^2+o(x^2)}{x^a}\sim \frac{2}{x^{a-2}}$$

así $\int_0^{1}$ converge por comparación con $\frac{1}{x^{a-2}}$ para $a-2<1$ es decir $a<3$ .

Para el segundo, tenga en cuenta que para $x\to +\infty$

$$\forall b \in \mathbb{R} \quad\frac{e^{-x^2}-e^{-3x^2}}{x^b}\to 0$$

así $\int_1^{+\infty}$ converge por comparación con $\frac{1}{x^{2}}$ $\forall a$ .

Por lo tanto $\int_0^{\infty} \frac{e^{-x^2}-e^{-3x^2}}{x^a}$ converge $\forall a<3$ .