Demostrar que un número de Mersenne $2^{n−1}(2^{n} −1)$ tal que $2^n −1$ no es primo debe ser abundante.

Question

Demostrar que un número de Mersenne $2^{n1}(2^{n} 1)$ tal que $2^n 1$ no es primo debe ser abundante. Mi intento hasta ahora

$\sigma(2^{n-1})\sigma(2^n-1)=(2^n-1)\sigma((2^x-1)(2^{x(y-1)}+2^{x(y-2)}\dots+2^2+1))$ Si $x \mid n$ entonces $2^x-1 \mid 2^n-1$ ya que puede factorizar $2^n-1$ por tantos factores de $n$ así que $2^n-1$ debe tener al menos tantos divisores como $n$ así $\sigma(2^{n-1})\sigma(2^n-1) \geq 2n$

Answer 1

No está claro cómo estás utilizando el número de divisores para concluir algo sobre la suma de los divisores.

En su lugar, puede utilizar el hecho de que, si un número entero $m$ no es primo, entonces $\sigma(m)\ge m+2$ desde $m$ es un divisor, y $m$ debe tener un divisor mayor que $1$ si $m$ no es primo.

Por lo tanto, si $2^n-1$ no es primo, entonces $$ \sigma(2^n-1) \ge 2^n+1 $$ y así $$ \sigma(2^{n-1}(2^n-1)) \ge (2^n-1)(2^n+1) = 2^{2n}-1 > 2^{2n}-2^n = 2^n(2^n-1)= 2\left(2^{n-1}(2^n-1\right)).$$ Así, $2^{n-1}(2^n-1)$ es abundante.

Una forma de verlo es que los poderes de $2$ son muy casi abundantes, por lo que no hace falta mucho para empujarla "al límite" de la abundancia.