Análisis complejo Series geométricas

Question

La cuestión es:

L $n$ es un número entero positivo, y $h$ sea un número entero positivo no divisible por $n$ y que

$$ w = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) $$

Demuestre que

$$ 1 + w^h + w^{2h} + w^{3h} + \dots + w^{(n-1)h} = 0$$

Creo que hago algo con una serie geométrica, pero no sé muy bien por dónde empezar.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$w = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = e^{\frac{2\pi i}{n}}.$$

Utilizar la serie geométrica

$$\sum_{k=0}^{n-1} z^k = \frac{z^n-1}{z-1}.$$

Su caso ofrece

$$\sum_{k=0}^{n-1} \left( e^{\frac{2\pi i}{n}} \right)^{kh}=\sum_{k=0}^{n-1} \left( \left( e^{\frac{2\pi i}{n}} \right)^{h} \right)^k =\sum_{k=0}^{n-1} \left( e^{\frac{2\pi i h}{n}} \right)^k = \frac{\left( e^{\frac{2\pi i h}{n}} \right)^n -1}{e^{\frac{2\pi ih}{n}} -1} = \frac{e^{2\pi i h}-1}{e^{\frac{2\pi i h}{n}}-1} = \frac{1- 1}{e^{\frac{2\pi i}{n}}-1} = 0$$

como $h \in \mathbb{N}$ .