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Prueba de la irracionalidad de nn donde nn es cuadrado libre

Estoy tratando de revisar un poco de álgebra antigua, y en particular quiero mostrar que 22 es irracional

Dado que los enteros son los únicos elementos integrales de Q en Z Supongamos r=2 es racional, entonces r22=0 es un polinomio en el que r es una raíz, por lo que r debe ser entero, pero como 1<r<2 Esto es una contradicción. ¿Lo estoy haciendo bien? ¿Puedo generalizarlo?

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Kf-Sansoo Puntos 43568

Claro que puedes intentarlo. Deja que n sea un número natural sin cuadrado, entonces se demuestra n es irracional. Para ello puedes utilizar la teoría de polinomios. Para ello, si x=nx2n=0 . Entonces, si pq es una raíz racional, entonces pn,q1q=±1 . Por lo tanto, cualquier raíz racional de esta ecuación debe ser de la forma x=p,pnn=p2 en contradicción con n siendo libre de cuadrados. Por lo tanto no hay raíz racional, significa n es irracional.

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OGC Puntos 913

Usted parece tener la idea correcta en la suposición de una contradicción, es decir, r2=2 es racional cuando rQ . Pero entonces se podría escribir como r=mn para algunos números enteros m,nZ . Entonces supongamos que m y n no tienen un factor común, y si lo tuvieran podríamos dividirlo.

Así que tenemos 2=r2=m2n2 . Por lo tanto, m2=2n2 Así que m2 es par. Afirmamos que m es par; si no m es impar.

Sea m=2k+1 para algunos kZ . Entonces m2=(2k+1)2 m2=(2k)2+2(2k)(1)+1 m2=2k(2k+1)+1 .

Así que m2 es impar, y es una contradicción. Por lo tanto, m es par, por lo que m=2p para algunos pZ .

Del mismo modo, intente demostrar que n2 es par, lo que implica que n es par.

Entonces n=2q para algunos qZ . Así que m y n tienen un factor común (¿puedes adivinar cuál es ese factor común?), lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, no hay ningún número racional r tal que r2=2 . En otras palabras, 2 es irracional.

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Mastrem Puntos 385

Una prueba generalizada de que la raíz de cada número entero positivo N es un número entero o irracional:

Supongamos que N=ab con (a,b)=1 N2=a2b2 Nb2=a2 N|a2a2=cN donde c es un número entero positivo. Nb2=Nc dividir ambos lados por N : b2=c y así: (a2,b2)=c c=1 y así a=N y b=1

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