Prueba de la irracionalidad de $\sqrt n$ donde $n$ es cuadrado libre

Question

Estoy tratando de revisar un poco de álgebra antigua, y en particular quiero mostrar que $\sqrt2$ es irracional

Dado que los enteros son los únicos elementos integrales de $\mathbb Q$ en $\mathbb Z$ Supongamos $r=\sqrt 2$ es racional, entonces $ r^2-2=0$ es un polinomio en el que $r$ es una raíz, por lo que $r$ debe ser entero, pero como $1<r<2$ Esto es una contradicción. ¿Lo estoy haciendo bien? ¿Puedo generalizarlo?

Answer 1

Claro que puedes intentarlo. Deja que $n$ sea un número natural sin cuadrado, entonces se demuestra $\sqrt{n}$ es irracional. Para ello puedes utilizar la teoría de polinomios. Para ello, si $x = \sqrt{n} \to x^2-n = 0$ . Entonces, si $\dfrac{p}{q}$ es una raíz racional, entonces $p \mid n, q \mid 1 \to q = \pm 1$ . Por lo tanto, cualquier raíz racional de esta ecuación debe ser de la forma $x = p, p \mid n \to n = p^2$ en contradicción con $n$ siendo libre de cuadrados. Por lo tanto no hay raíz racional, significa $\sqrt{n}$ es irracional.

Answer 2

Usted parece tener la idea correcta en la suposición de una contradicción, es decir, $r^{2}=2$ es racional cuando $r \in \mathbb{Q}$ . Pero entonces se podría escribir como $r=\frac{m}{n}$ para algunos números enteros $m,n \in \mathbb{Z}$ . Entonces supongamos que $m$ y $n$ no tienen un factor común, y si lo tuvieran podríamos dividirlo.

Así que tenemos $2 = r^{2} = \frac{m^{2}}{n^{2}}$ . Por lo tanto, $m^{2}=2n^{2}$ Así que $m^{2}$ es par. Afirmamos que $m$ es par; si no $m$ es impar.

Sea $m = 2k+1$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ . Entonces $$m^{2} = (2k+1)^{2}$$ $$m^{2}= (2k)^{2} + 2(2k) (1) + 1$$ $$m^{2}=2k(2k+1)+1$$ .

Así que $m^{2}$ es impar, y es una contradicción. Por lo tanto, $m$ es par, por lo que $m=2p$ para algunos $p \in \mathbb{Z}$ .

Del mismo modo, intente demostrar que $n^{2}$ es par, lo que implica que $n$ es par.

Entonces $n=2q$ para algunos $q \in \mathbb{Z}$ . Así que $m$ y $n$ tienen un factor común (¿puedes adivinar cuál es ese factor común?), lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, no hay ningún número racional $r$ tal que $r^{2}=2$ . En otras palabras, $\sqrt{2}$ es irracional.

Answer 3

Una prueba generalizada de que la raíz de cada número entero positivo $N$ es un número entero o irracional:

Supongamos que $N=\dfrac{a}{b}$ con $(a,b)=1$ $$N^2=\dfrac{a^2}{b^2}$$ $$Nb^2=a^2$$ $$N | a^2 \to a^2=cN$$ donde $c$ es un número entero positivo. $$Nb^2=Nc$$ dividir ambos lados por $N$ : $$b^2=c$$ y así: $$(a^2,b^2)=c$$ $c=1$ y así $a=N$ y $b=1$