Usted parece tener la idea correcta en la suposición de una contradicción, es decir, r2=2 es racional cuando r∈Q . Pero entonces se podría escribir como r=mn para algunos números enteros m,n∈Z . Entonces supongamos que m y n no tienen un factor común, y si lo tuvieran podríamos dividirlo.
Así que tenemos 2=r2=m2n2 . Por lo tanto, m2=2n2 Así que m2 es par. Afirmamos que m es par; si no m es impar.
Sea m=2k+1 para algunos k∈Z . Entonces m2=(2k+1)2 m2=(2k)2+2(2k)(1)+1 m2=2k(2k+1)+1 .
Así que m2 es impar, y es una contradicción. Por lo tanto, m es par, por lo que m=2p para algunos p∈Z .
Del mismo modo, intente demostrar que n2 es par, lo que implica que n es par.
Entonces n=2q para algunos q∈Z . Así que m y n tienen un factor común (¿puedes adivinar cuál es ese factor común?), lo cual es una contradicción.
Por lo tanto, no hay ningún número racional r tal que r2=2 . En otras palabras, √2 es irracional.