Gráfico de fase lineal

Question

En mi libro de texto tengo la siguiente pregunta (es un libro de texto holandés, así que espero traducir los términos matemáticos correctamente)

Dibuja un diagrama de fases del siguiente sistema:

$\frac{dy}{dx}=A_i y$

Con:

$A_1=\begin{pmatrix} 0&1\\ -4&0 \end{pmatrix}, A_2= \begin{pmatrix} -2&2\\ -1&0 \end{pmatrix} A_3= \begin{pmatrix} 3&-1\\ 1&1 \end{pmatrix} $

No tengo ni idea de qué hacer. Estaría muy bien si alguien pudiera ayudarme con la primera matriz y pudiera comprobar si encuentro las respuestas correctas en las otras dos matrices.

Answer 1

Puede resolver los valores propios de cada uno y dibujar el retrato de fase a partir de ahí.

Para la primera matriz, $y' = A_1 y$ tenemos :

$$|A_1 - \lambda I| = 0 \implies \lambda_1 = 2~i~, \lambda_2 = -2~i$$

Esto es un centro.

El retrato de fase es:

También podríamos haber resuelto este sistema y llegar a:

$$x(t) = c_1 \cos 2t + \dfrac{1}{2} c_2 \sin 2t \\ y(t) = -2c_1 \sin 2t + c_2 \cos 2t$$

A partir de aquí, se puede trazar paramétricamente $x(t)$ frente a $y(t)$ .

También puede dibujar líneas nulas y luego formar $\dfrac{y'}{x'}$ y añadir magnitud y dirección para la información de la pendiente y rellenar el retrato de fase.

Aquí tienes algunas notas para ayudarte con los retratos de fase:

• Guía rápida para dibujar planos de fase
• El plano de fases

Answer 2

Determinar los valores propios de las tres matrices, y que le dirá la estabilidad de cualquier equlibria los sistemas tienen, esto debería darle una idea de cómo trazar el espacio de fase.

La única otra forma es resolver cada sistema y luego trazarlo.