¿Por qué necesitamos el $S \otimes L^{1/2}$ producto del paquete para determinar un $Spin_c$ ¿Estructura?

Question

Estoy leyendo El libro de Marino sobre teoría topológica de campos y 4-manifolds y estoy muy confundido en la construcción de la $Spin_c$ estructuras para variedades que no admiten $Spin$ estructura. A continuación, todas las variedades son de 4 dimensiones.

Asumiré que entiendo que los colectores donde la segunda clase Stiefel-Whitney $w_2 \neq 0$ no admiten un $Spin$ estructura (aunque no me queda claro). Consideremos, por tanto, un 4-manifold tal. Para construir algo parecido a un $Spin$ estructura necesitamos la "raíz cuadrada" de un haz de líneas $L$ que aparentemente no existe (o no está bien definido).

Pregunta 1: Si $w_2=0$ ¿está bien definido? ¿Por qué sólo nos preocupamos $L^{1/2}$ ¿Ahora?

Además, el haz de espinores $S$ tampoco está definido globalmente (y supongo que esto tiene que ver con $\pm 1$ ambigüedades.

Pregunta 2: ¿Estoy en lo cierto? ¿Existe un buen ejemplo en el que pasar de un gráfico a otro $S$ (o partes de ella) cambia de signo?

Pero entonces, mágicamente, la estructura $S \otimes L^{1/2}$ está bien definido (porque los signos negativos se anulan entre sí ingenuamente). Así que ahora tenemos esto $Spin_c$ estructura.

Pregunta 3:¿Qué aspecto tienen ahora las secciones de este haz de espín? En el caso de los múltiples de espín sólo teníamos el haz de espín $S=S_+ \oplus S_{-}$ . ¿Cuál es el caso ahora?

Me gustaría saber cómo es la sección de este paquete. Finalmente esto nos lleva a la pregunta final que es

Pregunta 4: ¿Cómo se relaciona lo anterior con el hecho de que $Spin_c(n) = Spin(n) \times U(1)?$

Answer 1

Hay una introducción ridículamente bien escrita a la teoría de Seiberg-Witten por Moore aquí . En concreto, creo que responde a todas sus preguntas. Aunque todo está en el libro, permítanme resumir un poco.

Definición :

Básicamente se pueden tomar como definiciones las siguientes:

$$Spin (4) = SU(2) \times SU(2) = \left\{ B=\begin{bmatrix} A_+& 0 \\ 0 &A_- \end{bmatrix} : A_\pm \in SU(2)\right\}$$

y

$$Spin^c(4) = \left\{B^c= \begin{bmatrix} \lambda A_+& 0 \\ 0 &\lambda A_- \end{bmatrix} : A_\pm \in SU(2), \lambda \in U(1)\right\}$$

Tenga en cuenta que $Spin^c(4)$ no es el producto directo $Spin (4) \times U(1)$ (comprender esto es bastante crucial para saber por qué $L^{1/2}$ puede no existir).

Obsérvese también que hay una inclusión $I : Spin(4) \to Spin^c(4)$ .

Homomorfismo, acciones :

En $Spin(4)$ tiene proyecciones naturales $\rho_\pm : Spin(4) \to SU(2)$ , enviando $B$ a $A_\pm$ . También $Spin(4)$ tiene el siguiente doble recubrimiento para $SO(4)$ : (aquí pensamos en $\mathbb R^4$ como el espacio de $2\times 2$ matrices) $$\rho : Spin (4) \to SO(4), \ \ \ \rho(B) Q = A_- Q (A_+)^{-1}.$$

Del mismo modo, $Spin^c(4)$ admite dos homomorfismos $\rho_{\pm}^c$ a $U(2)$ , enviando $B^c$ a $\lambda A_\pm$ respectivamente. También tiene la siguiente doble cobertura

$$\rho^c : Spin^c(4) \to SO(4) \times U(1), \ \ \ \rho^c (B^c) = (\rho (B^c), \lambda ^2).$$

aquí por $\rho(B^c)$ significa que utilizamos la misma fórmula que en el grupo Spin $Spin(4)$ Eso es,

$$\rho(B^c) Q = (\lambda A_-) Q (\lambda A_+)^{-1}.$$

Nota $B^c \mapsto \lambda$ no está bien definido, mientras que $B^c \mapsto \lambda^2$ es: en efecto $\lambda^2 = \det (\lambda A_\pm)$ . En particular, se tiene el siguiente homomorfismo $$\det : Spin_c \to U(1)$$

Todos estos homomorfismos inducen, por supuesto, acciones sobre el espacio vectorial: $\rho_\pm(B), \rho^c _{\pm } (B^c)$ actúa sobre $\mathbb C^2$ , $\det (B^c)$ actúa sobre $\mathbb C$ etc....

Estructura de espín, haces asociados :

Un Riemanniano $4$ -manifold $(M, g)$ puede entenderse como la siguiente información: existe una cubierta abierta $\{U_\alpha\}$ de $M$ y una familia de mapas suaves

$$s_{\alpha\beta} : U_\alpha \cap U_\beta \to SO(4)$$

con algunas condiciones de compatibilidad. Un giro $^c$ estructura en $M$ es una elevación de $s_{\alpha\beta}$ es decir, una familia de cartografías suaves (con algunas condiciones de compatibilidad)

$$\widetilde{s _{\alpha\beta} }:U_\alpha \cap U_\beta \to Spin^c (4)$$

para que $\rho\circ \widetilde{s _{\alpha\beta} } = s_{\alpha\beta}$ . Obsérvese que esto induce inmediatamente a lo siguiente:

$$\rho^c_\pm \circ \widetilde{s _{\alpha\beta} }:U_\alpha \cap U_\beta \to U(2)$$

y

$$\det \circ \widetilde{s _{\alpha\beta} }:U_\alpha \cap U_\beta \to U(1).$$

La primera induce dos haces vectoriales complejos de rango $2$ en $M$ mientras que el segundo induce un haz de líneas complejo (llamado $L$ ) en $M$ .

Los dos haces vectoriales complejos se denominan $S_\pm\otimes L^{1/2}$ respectivamente. La razón es obvia: están definidos por la matriz de transición $\lambda A^\pm$ respectivamente, y $\lambda^2$ define $L$ . Por lo tanto, es importante comprender que $S_\pm\otimes L^{1/2}$ son en realidad meras notaciones, no hay haces vectoriales $S_\pm$ y no hay un haz de líneas $L^{1/2}$ en $M$ .

Aunque una variedad de cuatro orientada no admite una estructura de espín, siempre admite un espín $^c$ estructura (la dimensión es importante aquí).