Falsa "prueba" de que $\mathbb{R}$ es contable

Question

A punto de dormirme, se me ocurrió la siguiente "prueba" de que $\mathbb{R}\cap[0,1]$ es contable:

Para cada $k \in \mathbb{N}$ sea el conjunto $S_k$ sea el conjunto que contiene todo número real positivo menor que uno con expansión decimal consistente en $k$ o menos dígitos. [ ] $$\mathbb{R} \cap [0,1] = \bigcup_{k=1}^\infty S_k.$$ Pero como cada $S_k$ es finito, $\mathbb{R}\cap[0,1]$ es contable, ya que es la unión contable de conjuntos finitos.

Después de pensarlo un par de minutos, no veo qué tiene de malo. Por favor, destrozadlo para que pueda dormir.

Answer 1

Aquí hay un malentendido muy importante, que es la idea de que "arbitrariamente largo" sigue siendo menos largo que "infinitamente largo". Como otros han señalado, su conjunto sólo contiene los números con finitamente muchos dígitos decimales. Puedes tener tantos dígitos finitos como quieras, es cierto. Pero no puede tener infinitas cifras.

Porque, vale, supongamos que tienes una cosa con infinitos dígitos. Si realmente está en la unión, tiene que vivir en algún nivel de la unión (en algún $S_k$ ). Pero, por definición, no vive en ninguno de los $S_k$ . Así que no puede no estar en la unión.

Answer 2

Tu set $\bigcup_{k=1}^\infty S_k$ sólo contiene números racionales, pero $\mathbb{R} \cap [0,1]$ contiene también números irracionales, por lo que $$\bigcup_{k=1}^\infty S_k \neq \mathbb{R} \cap [0,1]$$

Answer 3

Supongamos que algún irracional está en su $\bigcup_{k=1}^\infty S_k$ .
Sea $\dfrac{1}{\sqrt 2} \in \bigcup_{k=1}^\infty S_k$ .

DE ACUERDO, $a\in\bigcup_{k=1}^\infty b_k$ significa que existe al menos un conjunto $b_i$ para la que es cierto que $a\in b_i$ .

Pero en su ejemplo cada $S_k$ contiene números con dígitos finitos en su expansión decimal. Por lo tanto, no existe tal $S_k$ que $\dfrac{1}{\sqrt 2} \in S_k$ .