Transformación infinitesimal de formas diferenciales

Question

Las formas diferenciales infinitesimales $dx_1$ y $dx_2$ abarcan un espacio vectorial bidimensional (espacio cotangente). La transformación $f$ actúa sobre $(x_1,x_2)$ como una transformación de coordenadas. Así,

$$ dx_i \to du_i = \frac{\partial u_i}{\partial x_j}dx_j,\qquad i = 1,2.$$

Veamos la transformación infinitesimal de $x_i$ es decir $$ u_i(x) = x_i +\epsilon_i(x).$$

Demuestre que si $f$ es una transformación conforme:

$$ \omega(x)\delta_{ij} = -\frac{\partial \epsilon_j}{\partial x^i}-\frac{\partial \epsilon_i}{\partial x^j},$$

donde $\omega(x) \in \mathbb{R}$ es un factor de escala.

Pista: Primero, demuestre que $$\delta_{ij}du^idu^j=\left(1+\omega(x)\right)\delta_{kl}dx^kdx^l.$$

Ya he probado diferentes cosas como sustituir el $du$ en la expresión dada como pista. Todo esto básicamente no me ha llevado a nada, así que sería estupendo si alguien pudiera ayudarme a encontrar la solución. ¿Por dónde empiezo?

Tal vez debería mencionar que se trata de un ejercicio de un cuaderno de física, por lo que esta pregunta debe responderse utilizando la información facilitada anteriormente.

Answer 1

Ya tienes todos los elementos que necesitas. Sólo tienes que igualar dos expresiones para la métrica después de una transformación conforme. Veámoslo.

• En primer lugar, su cambio bajo cualquier transformación $x\mapsto u(x)$ puede calcularse como \begin{align} \delta_{ij}dx_idx_j\mapsto& \,\delta_{ij}du_idu_j = \delta_{ij}\frac{\partial u_i}{\partial x_k} \frac{\partial u_j}{\partial x_l}dx_kdx_l = \left(\delta_{ik}+\frac{\partial \epsilon_i}{\partial x_k}\right) \left(\delta_{jl}+\frac{\partial \epsilon_j}{\partial x_l}\right) \delta_{ij}dx_kdx_l\\ =& \left(\delta_i^k\delta_j^l+ \delta_{jl}\frac{\partial \epsilon_i}{\partial x_k}+ \delta_{ik}\frac{\partial \epsilon_j}{\partial x_l}+ O\left(\left(\frac{\partial\epsilon}{\partial x} \right)^2\right)\right)\delta_{ij}dx_kdx_l \\ =& \left(\delta_{kl}+\frac{\partial\epsilon_l}{\partial x_k} +\frac{\partial\epsilon_k}{\partial x_l}+ O\left(\left(\frac{\partial\epsilon}{\partial x}\right)^2\right)\right) dx_kdx_l \end{align}

• Por otro lado, si se trata de una transformación conforme debe cumplirse que después de la transformación la métrica es igual a \begin{equation} \exp(-\omega(x))\delta_{ij}dx_idx_j=\left(1- \omega(x)+O\left(\omega(x)^2\right)\right)\delta_{ij}dx_idx_j. \end{equation}

Ahora, despreciando las potencias cuadráticas o superiores de $\omega$ y las derivadas de $\epsilon$ se obtiene:

\begin{equation} (1+\omega)\delta_{ij}dx_idx_j=\left(\delta_{kl}- \frac{\partial \epsilon_l}{\partial x_k} -\frac{\partial \epsilon_k}{\partial x_l}\right)dx_kdx_l \end{equation}

Y como el coeficiente de cada $dx_idx_j$ tiene que ser igual en ambos lados: \begin{equation} \omega\delta_{ij}= -\frac{\partial \epsilon_j}{\partial x_i} -\frac{\partial \epsilon_i}{\partial x_j} \end{equation}