Si $|a-b| \leq \frac{\epsilon}{2}$ y $|a| \gt \epsilon$ demostrar constructivamente que $|b|\geq \frac{\epsilon}{2}$ .

Question

Tengo una prueba para la afirmación, pero es fea e implica casos y una contradicción. ¿Hay alguna prueba constructiva para la declaración:

Si $|a-b| \leq \frac{\epsilon}{2}$ y $|a| \gt \epsilon$ entonces $|b|\geq \frac{\epsilon}{2}$

Supongo que tiene que ver con el teorema de la desigualdad de los triángulos, pero me cuesta precisarlo.

Gracias.

Answer 1

Utilizando $$|x-y|\ge|x|-|y|$$ se tiene $$|b|=|a-(a-b)|\ge|a|-|a-b|>\epsilon-\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2}.$$

Answer 2

Sugerencia

$$|a-b|\le\frac{\epsilon}{2}\Leftrightarrow -\frac{\epsilon}{2}\le a-b\le \frac{\epsilon}{2}\Leftrightarrow a-\frac{\epsilon}{2}\le b \le a+\frac{\epsilon}{2}\qquad (1)$$

$$|a|>\epsilon \Leftrightarrow a <-\epsilon \text{ or } a>\epsilon \Leftrightarrow \left(a+\frac{\epsilon}{2} <-\frac{\epsilon}{2}\right) \text{ or } \left(a-\frac{\epsilon}{2}>\frac{\epsilon}{2}\right)\qquad(2)$$

Ahora, pon las dos desigualdades, $(1)$ y $(2)$ juntos. ¿Puedes terminar?

Answer 3

Tienes que utilizar la desigualdad del triángulo inverso, es decir, para cualquier número real $a$ y $b$ tenemos $$|a|-|b| \leq |a-b|.$$

Por un lado, $$|a|-|b| \leq |a-b|\leq \frac{\varepsilon}{2}.$$ Por lo tanto, $$|a|\leq |b|+\frac{\varepsilon}{2}.$$

También $|a|>\varepsilon$ Así que $$\varepsilon<|a|\leq |b|+\frac{\varepsilon}{2}.$$ En particular, $$\varepsilon<|b|+\frac{\varepsilon}{2},$$ donde la desigualdad es estricta debido a que $\varepsilon<|a|$ y el resultado queda demostrado: $$|b|>\frac{\varepsilon}{2}.$$