Quiero demostrar una afirmación relativa a la extensión holomorfa de una función holomorfa en el disco unidad.
Sea $D \subset \mathbb{C}$ sea el disco unitario (abierto) y $f: \bar{D} \to > \mathbb{C}$ sea un mapa continuo, tal que $f$ restringido a $D$ es holomorfa y $|f(z)|=1$ para todos $z \in \partial D$ . Demuestre que $f$ puede extenderse a una función holomorfa en $\mathbb{C}$ hasta hasta un número finito de singularidades aisladas, es decir puntos $z_1,..., z_n \in \mathbb{C}$ y una función holomorfa $g: \mathbb{C} \setminus \{z_1,...,z_n \} \to \mathbb{C}$ tal que $f=g$ en $D$ .
Sea $C_0=\partial D$ . Entonces $C_0$ es el círculo unitario. Consideremos $f|_D: D \to \mathbb{C}$ . Entonces $f|_D$ es holomorfa porque $f$ es holomorfa. Sea $K \subset C_0$ sea un arco circular. Porque $|f(z)|=1 $ para todos $z \in \partial D$ se deduce lo siguiente $f(K) \subset C_0$ . Sea $\sigma_0$ sea la inversión con respecto a $C_0$ . Considere
\begin{align*} g: D \cup K \cup \sigma_0(D), \ F(z)=\begin{cases} f(z) & , \ z \in D \\ \sigma_0(f(\sigma_0(z))) & , \ z \in \sigma_0(G) \\ \sigma_0(f(\sigma_0(z))) & , \ z \in K \end{cases} \end{align*}
Entonces $f(z)=\sigma_0(f(\sigma_0(z)))$ para todos $z \in K$ . Porque $f|_D$ puede ampliarse a una función que sea conitnua en $\bar{D}$ se deduce del principio de reflexión de Schwarz que la función $g$ es holomorfa. La función $g$ tiene una singularidad en $a \in \mathbb{C}$ sólo si $a\in \sigma_0(G)$ y $f(\sigma_0(a))=0$ . Defina $S:=\{z \in \sigma_0(D) \ | \ f(\sigma_0(z))=0 \}$ . Entonces $S$ es el conjunto de singularidades de $g$ . Supongamos que $S$ contiene infinitos elementos. Porque $\sigma_0$ es biyectiva se deduce que hay infinitos elementos $z \in D$ tal que $f(z)=0$ . Así $f$ tiene infinitos ceros. Para cada cero de orden $m \geq 1$ existe una vecindad y una función holomorfa $h$ tal que $f(z)=(h(z))^m$ en ese barrio.
Pero no veo cómo proceder.
