Igual aniquilador implica asociados

Question

Sea $\mathbb Z_n$ sea el anillo de los enteros módulo $n$ . Sea $x,y \in \mathbb Z_n$ sea tal que $ann(x) = ann(y)$ donde $ann(x) = \{a \in \mathbb Z_n : ax =0 \text{ in } \mathbb Z_n\}$ . Entonces $(x,n) = (y,n)$ y por lo tanto $x = u y$ para alguna unidad $u \in \mathbb Z_n$ .

¿es este resultado cierto en un anillo conmutativo finito arbitrario con unidad?

Gracias, señor.

Answer 1

Contraejemplo

En $R=F_2[x,y]/(x,y)^2$ , $ann_R(x)=ann_R(y)=(x,y)$ pero $xR\cap yR=\{0\}$ .

Una ampliación

Si $R$ en cualquier anillo con la hipótesis del aniquilador que escribió para $x,y\in R$ tenemos, por teoremas de homomorfismo, que el homomorfismo de multiplicación a la izquierda se factoriza a través del homomorfismo de multiplicación a la derecha para producir un homomorfismo $g:xR\to yR$ tal que $g(xr)=yr$ para todos $r\in R$ .

Porque $R$ es finito y los aniquiladores son iguales, $|xR|=|yR|$ y puesto que $g$ es necesariamente onto, esto significa que $g$ es un isomorfismo entre $xR$ y $yR$ .

Si $R$ es además autoinyectiva derecha, $g$ se extiende a $\tilde{g}$ de $R\to R$ . En este punto, $\tilde{g}(1)xr=yr$ para todos $r\in R$ .

Afirmamos que $\tilde{g}(1)$ no es un divisor cero. Si lo fuera, y $r\neq 0$ era tal que $\tilde{g}(1)r=0$ tendríamos que $0=\tilde{g}(1)xr=g(xr)=yr$ pero esto contradice la inyectividad de $g$ en $xR$ . Debemos concluir $\tilde{g}(1)$ no es un divisor cero.

Ahora bien, en un anillo finito, cada elemento es una unidad o un divisor cero, por lo que debemos concluir que $\tilde{g}(1)$ es una unidad. En el caso especial de $r=1$ que dice que $ux=y$ donde $u=\tilde{g}(1)$ .

Por tanto, el teorema es válido para anillos autoinyectivos conmutativos finitos. Todos los anillos $\mathbb Z/(n)$ son tales anillos.