Para empezar, $Y = -\ln(X)$ sólo funciona cuando $[a,b] \subset \mathbb{R}_{>0}$ . Por lo tanto
$$ X \sim \mathcal{U}[a,b] \quad\text{where}\quad [a,b] \subset \mathbb{R}_{>0}. $$
entonces $Y$ es log-uniformemente distribuido en símbolos
$$ Y \sim \mathcal{LU}[\alpha,\beta] \quad\text{with}\quad \alpha = -\exp(a) \ \text{and} \ \beta = -\exp(b). $$
Esto puede obtenerse aplicando la regla de transformación a la función de densidad de probabilidad (FDP) de $X$ dado por $$ f_\mathcal{U}(x \mid a,b) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{else} \end{cases}. $$ Supongamos que $\alpha = -\exp(a)$ y $\beta = -\exp(b)$ . El PDF de $Y = -\ln(X)$ es entonces $$ \begin{eqnarray} f_\mathcal{U}(-\ln(x) \mid a,b) \cdot \left| \dfrac{\mathrm{d} (-\ln(x))}{\mathrm{d}x} \right| &=& \begin{cases} \dfrac{1}{(b - a) \cdot x}, & a \leq -\ln(x) \leq b \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& \begin{cases} \dfrac{1}{(b - a) \cdot x}, & -\exp(a) \leq x \leq -\exp(b) \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& \begin{cases} \dfrac{1}{(\ln(-\beta) - \ln(-\alpha)) \cdot x}, & \alpha \leq x \leq \beta \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& \begin{cases} \dfrac{1}{\ln\left( \dfrac{-\beta}{-\alpha} \right) \cdot x}, & \alpha \leq x \leq \beta \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& \begin{cases} \dfrac{1}{(\ln(\beta) - \ln(\alpha)) \cdot x}, & \alpha \leq x \leq \beta \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& f_\mathcal{LU}(x \mid \alpha,\beta). \end{eqnarray} $$ El resultado es la PDF de la variable con distribución logarítmica uniforme $Y \sim \mathcal{LU}[\alpha,\beta]$ .