Distribución de $-\log X$ si $X$ es uniforme.

Question

Para $X$ y $Y$ variables aleatorias; $X$ sigue la distribución uniforme.

(1): si $Y=-\log X$

(2): entonces puede demostrarse que $-\log X$ se distribuye como $\exp(1)$ {es decir, exponencial con media 1}.

¿Por qué? Intuitivamente la afirmación (2) tiene sentido para mí. Pero me gustaría una prueba matemática.

-Trabajo probablemente incorrecto:

(1) parece implicar $\exp(-Y) = X$ (que es como decir $X$ se distribuye exponencialmente, lo que es una contradicción, ya que en realidad es uniforme); o es incorrecto que yo haga esto ya que $X$ y $Y$ son variables aleatorias?

En última instancia, ¿cómo demuestro (2)?

Gracias

Answer 1

El truco para resolver este tipo de problemas consiste en calcular la distribución de $Y$ : $F(y) = P(Y<y)$ . En este caso, tenemos $F(y)=P(\log X<y)=P(X<e^y) =\int_0^{e^y}dt$ . Ahora si haces el cambio de variable $t=e^u$ se puede transformar esta expresión en algo del tipo $F(y) = \int_{-\infty}^y f(u)du$ y luego $f$ será la densidad que busca.

Answer 2

Para empezar, $Y = -\ln(X)$ sólo funciona cuando $[a,b] \subset \mathbb{R}_{>0}$ . Por lo tanto

$$ X \sim \mathcal{U}[a,b] \quad\text{where}\quad [a,b] \subset \mathbb{R}_{>0}. $$

entonces $Y$ es log-uniformemente distribuido en símbolos

$$ Y \sim \mathcal{LU}[\alpha,\beta] \quad\text{with}\quad \alpha = -\exp(a) \ \text{and} \ \beta = -\exp(b). $$

Esto puede obtenerse aplicando la regla de transformación a la función de densidad de probabilidad (FDP) de $X$ dado por $$ f_\mathcal{U}(x \mid a,b) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{else} \end{cases}. $$ Supongamos que $\alpha = -\exp(a)$ y $\beta = -\exp(b)$ . El PDF de $Y = -\ln(X)$ es entonces $$ \begin{eqnarray} f_\mathcal{U}(-\ln(x) \mid a,b) \cdot \left| \dfrac{\mathrm{d} (-\ln(x))}{\mathrm{d}x} \right| &=& \begin{cases} \dfrac{1}{(b - a) \cdot x}, & a \leq -\ln(x) \leq b \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& \begin{cases} \dfrac{1}{(b - a) \cdot x}, & -\exp(a) \leq x \leq -\exp(b) \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& \begin{cases} \dfrac{1}{(\ln(-\beta) - \ln(-\alpha)) \cdot x}, & \alpha \leq x \leq \beta \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& \begin{cases} \dfrac{1}{\ln\left( \dfrac{-\beta}{-\alpha} \right) \cdot x}, & \alpha \leq x \leq \beta \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& \begin{cases} \dfrac{1}{(\ln(\beta) - \ln(\alpha)) \cdot x}, & \alpha \leq x \leq \beta \\ 0, & \text{else} \end{cases} \\ &=& f_\mathcal{LU}(x \mid \alpha,\beta). \end{eqnarray} $$ El resultado es la PDF de la variable con distribución logarítmica uniforme $Y \sim \mathcal{LU}[\alpha,\beta]$ .

Answer 3

Reiterar la respuesta de @S4M pero con $Y = -\log(X)$ en lugar de $Y = \log(X)$ según el mensaje de OP:

$$ P(Y<y) = P(-\log(X)<y) = P(X>\exp(-y)).$$

Dado que $X$ se distribuye uniformemente entre $[0,1]$ ,

$$ P(Y<y) = P(X>\exp(-y)) = F(1 -\exp(-y)),$$

que es la FDA de la distribución exponencial, con $\lambda=1$ .