Deducir analíticamente el número de reproducción de un modelo SI

Question

Para una tarea tengo que crear un modelo SI con Python y responder a algunas preguntas sobre él. El modelo en sí es muy sencillo. Utilizo un paquete de Python para crear un gráfico con un grado medio de $\langle k \rangle$ . En este grafo, un nodo infectado, en cada paso temporal, infectará a un nodo vecino con una probabilidad de $i$ . El problema que tengo es entender una de las preguntas que no tiene nada que ver con la programación, ¡sino con las matemáticas!

Específicamente tenemos que derivar analíticamente el número de reproducción $R_0$ (que definen como "el número esperado de nuevas infecciones en el primer paso de tiempo por nodo infectado"). He buscado mucho en Google y he encontrado lo siguiente:

\begin{align*} \frac{dI}{dT} &= \beta \frac{SI}{N}\\ \frac{dS}{dT} &= -\beta \frac{SI}{N} \end{align*}

donde $I$ es el número total de nodos infectados, $S$ el número total de nodos susceptibles y $N$ el número total de nodos ( $N = S + I$ ). En la mayoría de sitios he leído que $\beta$ se define como la tasa de infección/contacto o la probabilidad de infección multiplicada por el contacto medio entre nodos susceptibles e infectados.

En mi caso supongo que $\beta = i \cdot \langle k \rangle$ ¿verdad? ¿Cómo consigo $R_0$ y ¿es esto lo que quieren decir con "derivar analíticamente"?

Answer 1

En tu caso en concreto, $R_0 = \infty$ . El valor de $R_0$ viene determinado por el método utilizado, pero en este caso, de nuevo, todos los métodos que conozco conducen al mismo valor, $\infty$ . Para entenderlo, sepa que $R_0$ representa el número medio de individuos que se infectan debido a un único individuo infeccioso en una población que está sana . En general, $$R_0= \left(\text{average time an infectious individual remains in the infected class}\right)\times\left(\text{infection rate}\right)$$ En su caso, la tasa de infección es $\beta$ o un múltiplo de $\beta$ (dependiendo de su definición precisa de $\beta$ ). Por otra parte, los individuos infecciosos de su modelo ( $I$ ), nunca mueren. Esto significa que el primer término es infinito.

En el caso de sistemas muy complejos, este método intuitivo resulta difícil de llevar a cabo debido a la conectividad entre los términos. En este caso, se intenta Matriz de nueva generación para calcular $R_0$ . Que yo sepa, este método siempre funciona. Sin embargo, hay un problema. Encontrar la interpretación de cualquier expresión que obtengas se vuelve muy difícil. Y considero que ambos métodos son analíticos. Por supuesto, hay muchos otros, incluidos algunos numéricos.

Para saber más sobre Matriz de nueva generación Si lo desea, puede consultar los siguientes documentos.

Diekmann, Odo, Johan Andre Peter Heesterbeek y Johan AJ Metz. "On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious diseases in heterogeneous populations". Journal of mathematical biology 28.4 (1990): 365-382.

O para un fin más aplicativo (ejemplo),

Castillo-Chavez, Carlos, y Baojun Song. "Modelos dinámicos de tuberculosis y sus aplicaciones". Biociencias matemáticas e ingeniería 1.2 (2004): 361-404.