Construcción del lagrangiano a partir del hamiltoniano

Question

Dado el Lagrangiano $L$ para un sistema, podemos construir el Hamiltoniano $H$ utilizando la definición $H=\sum\limits_{i}p_i\dot{q}_i-L$ donde $p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ . Por lo tanto, para determinar, $p_i$ necesitamos saber $L$ .

Supongamos ahora, que se nos da el Hamiltoniano $H$ . ¿Podemos entonces reconstruir el Lagrangiano $L$ ? Ciertamente la relación $L=\sum\limits_{i}p_i\dot{q}_i-H$ no es útil porque no existe una prescripción sobre cómo determinar $p_i$ sin saber $L$ .

Answer 1

Sí, existe una transformación de Legendre desde $g(p)$ a $f(x)$ : $$ f(x)=p(x)x-g(p(x)) $$ con $x=dg/dp$ . Aquí la notación $p(x)$ significa $p$ escrito en términos de $x$ . En su caso, el Hamiltoniano es una función de $p$ y lo estás transformando en una función de $\dot{q}$ así que debes usar la ecuación de Hamilton para obtener la velocidad: $$ \dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i} $$ que luego se resuelve para $p$ (para que sea una función de $\dot{q}$ por ejemplo $p=h(\dot{q})$ ). Entonces tienes tu Lagrangiano como $$ L(q,\dot{q})=\dot{q}_ih(\dot{q}_i)-H(q,h(\dot{q})) $$

Para el Hamiltoniano (relativista) 1 , $$ H(q,p)=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}+V(q) $$ el impulso debe ser $$ p(\dot{q})=\frac{m\dot{q}}{\sqrt{1-\dot{q}^2/c^2}} $$ que se calculó utilizando $\dot{q}=\partial H/\partial p$ e invirtiendo para obtener $p$ en términos de $\dot{q}$ . Deberías verificar que esto es correcto (pero parece correcto para el momento relativista, $p=\gamma mv$ ). Entonces sólo tienes que hacer la sustitución y obtener tu Lagrangiano.

1. Este hamiltoniano concreto se incluyó en versión 2 de esta pregunta, pero desde entonces se eliminó; ya que sigue siendo un ejemplo de la $H\to L$ transforme, lo mantuve dentro.

Answer 2

En primer lugar, el hamiltoniano contiene las coordenadas $q_i$ y sus momentos $p_i$ . Tienes que calcular las velocidades $\dot{q}_i$ . Para ello, necesitarás las ecuaciones de Hamilton-Jacobi $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$ La transformada de Legendre, como se ha indicado en los comentarios, es involutiva, por lo que el lagrangiano no es más que la transformada de Legendre del hamiltoniano $$L = \sum_i p_i \dot{q}_i - H$$ donde hay que expresar en todas partes los momentos en términos de las velocidades.

Ejemplo práctico: oscilador armónico. El hamiltoniano conocido es $$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$$ De Hamilton-Jacobi obtenemos (como era de esperar) que $$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$$ E introdúcelo en la transformada de Legendre $$L = \dot{q}p - H = \dot{q}(\dot{q} m) - \frac{(\dot{q}m)^2}{2m} - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 = \frac{1}{2}m \dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$$ Que es de hecho el lagrangiano para el oscilador armónico.

Answer 3

Suprimamos la dependencia temporal explícita $t$ de la notación siguiente. Ecs. de Hamilton son los Ecuaciones de Euler-Lagrange (EL). para el llamado lagrangiano hamiltoniano

$$\tag{1} L_H(q,\dot{q},p)~:=~ p_i\dot{q}^i-H(q,p).$$

En otras palabras, las soluciones a las eqs. de Hamilton son puntos estacionarios para la acción hamiltoniana

$$\tag{2} S_H[q,p]~:=~\int \! dt~L_H(q,\dot{q},p). $$

A continuación, defina el lagrangiano como

$$ \tag{3} L(q,\dot{q})~:=~\sup_p L_H(q,\dot{q},p). $$

La fórmula (3) es la respuesta sucinta a la pregunta de OP sobre cómo construir el Lagrangiano a partir del Hamiltoniano.

En Transformación de Legendre (3) se suele denominar integración de $^1$ las variables de impulso $p_i$ . Entonces la acción (2) se convierte en

$$ \tag{4} S[q]~:=~\int \! dt~L(q,\dot{q}). $$

Los puntos estacionarios de la acción (4) vienen dados por las ecs. EL para $L$ .

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$^1$ Si vamos más allá de la mecánica clásica y consideramos la formulación de la integral de la trayectoria en el espacio de fases, entonces "integrar el momento" es exactamente lo que ocurre.