Problema : Hay $3^n$ secuencias de n dígitos en las que cada dígito es $0$ , $1$ o $2$ . ¿Cuántas de estas secuencias tienen un número impar de $0$ 's ?
Sea $o(n)$ = el número de secuencias de n dígitos que tienen un número impar de $0$ y $e(n)$ = el número de secuencias de n dígitos que tienen un número par de $0$ 's.
Obviamente $o(n) + e(n) = 3^n$ y por ejemplos puedo ver que $o(n)=e(n)-1$ pero no sé cómo mostrarlo. Además, si tenemos $x$ dígitos para elegir entonces por ejemplos veo que $o(n) = e(n) - {n}^{x-2}$ . Y si consideramos el número de secuencias que tienen un número congruente con $0$ , $1$ respectivamente $2$ (modulo $3$ ) de $0$ s vemos que estos números están en progresión aritmética.
¿Puede alguien demostrarme estas suposiciones o refutarlas si no son correctas?