Exponente crítico de Sobolev

Question

Sea $n\in\mathbb{N}$ , $1\le p<n$ y $c>0$ . ¿Tiene

$$\lVert f\rVert_{L^q(\mathbb{R}^n)}\le c \lVert\nabla f\rVert_{L^p(\mathbb{R}^n)}\text{ for all }f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$$

implica

$$q=\frac{np}{n-p}\text{?}$$

Answer 1

Sugerencia: utilice la función de reescalado $$f_\lambda(x) = f(\lambda x)$$

en su desigualdad entonces que $\lambda\to 0$ y $\lambda\to \infty$ . concluyen que la única posibilidad de $q$ es $q=\frac{np}{n-p}$