mostrar que hay, al menos, $\frac{n(n-1)}{2}$elementos en los conjuntos de

Question

Deje $x_{i},i=1,2,\cdots,n$ ser números reales,y tal $$|x_{i}-x_{j}|>1(\forall i\neq j)$$ define un conjunto $A=\{x_{i}x_{j}+x_{k}|1\le i,j,k\le n\}$,muestran que $$|A|\ge\dfrac{n(n-1)}{2}$$

Cómo puedo resolver esto? Creo que hay una ecuación por un principio del palomar.

Answer 1

Prueba por inducción: Supongamos $n=3$. A continuación, $A$ tiene al menos 3 elementos: $x_1x_2+x_3$, $x_1x_3+x_2$ y $x_2x_3+x_1$. Este caso tiene porque $3(2)/2 = 3$.

Ahora, supongamos que la desigualdad se cumple para $n$, se demuestra que tiene de $n+1$. Cualquier elemento en $A_{n}$$A_{n+1}$, lo $A_{n}$ tiene al menos $r=\frac{n(n-1)}{2}$ elementos. Tenemos que demostrar que tiene al menos $s=\frac{(n+1)(n-1+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$ elementos. Cómo muchos de los nuevos elementos que necesitamos hacer? Tomando la diferencia, $s-r=\frac{n^2+n-(n^2-n)}{2}=\frac{2n}{2}=n$.

Cómo podemos construir $n$ nuevos elementos en $A_{n+1}$? En realidad podríamos construir muchas más, pero podemos encontrar $n-1$ de patrón $x_1*x_i+x_{n+1}, 1<i≤n$ y 1 más. $x_2*x_3+x_{n+1}$ , para un total de $n$.

Así que, por inducción, $A_{n}$ tiene al menos $\frac{n(n-1)}{2}$ elementos.

Answer 2

Usted podría tratar de inducción, con la advertencia de que sugeriría que la redefinición de las $A$ con un índice, $A_n = \left\{x_{i}x_{j}+x_{k}\space \big\vert \space 1 \le i,j,k\le n\right\}$. El caso base ($n = 2$) debe dar dos números, $x_1,x_2$ tal que $\left|x_1-x_2\right|>1$ y a mano, usted puede calcular el $A_1$. Usted debe ser fácilmente capaz de mostrar que $\left|A_1\right| \geq \frac{2(2-1)}{2} = 1$. Así que proceder por inducción, suponiendo que $\left|A_n \right| \geq \frac{n(n-1)}{2}$ todos los $n \in \{1,2,\ldots, p\}$. La inducción de la hipótesis de da $\left|A_p \right| \geq \frac{p(p-1)}{2}$, y en última instancia, usted va a querer demostrar que $\left|A_{p+1} \right| \geq \frac{p(p+1)}{2}$. Como una sugerencia que puede ayudar a notar que $\frac{p(p+1)}{2} =\frac{p(p-1)}{2} +p$ y $A_n \subset A_{n+1}$. Se puede demostrar que $A_{p+1}$ debe tener al menos $p$ más de los elementos de $A_p$? Si es así, se puede concluir que $$\frac{p(p+1)}{2} \leq \left|A_p \right|+p \leq \left|A_{p+1} \right|$$