¿Cuál es la medida del ángulo ∡IEO?

Question

Como referencia: En un triángulo ABC, B=120º. "I" Incentro de ABC. "O" Circuncentro de ABC. "E" Excentro de ABC respecto al lado BC. Calcular el mIEO.

Mi progreso:

Hice la figura, marqué los ángulos posibles y dibujé algunas líneas auxiliares para intentar llegar a la solución......

Answer 1

Me refiero a ángulos internos de $\triangle ABC$ como $\angle A, \angle B$ y $\angle C$

$\angle OAE = \angle 30^\circ + \angle A = \angle 30^\circ + \frac{1}{2} (60^\circ - \angle C)$

$\angle OAE = 60^\circ - \frac{\angle C}{2} \tag1$

$\angle OCE = 30^0 + \angle ACE = 30^\circ +(90^\circ + \frac{\angle C}{2})$

$\angle OCE= 120^\circ + \frac{\angle C}{2} \tag2$

Así que.., $\angle OAE + \angle OCE = 180^\circ ~$ y se deduce que el cuadrilátero $OAEC$ es cíclico.

$\therefore \angle IEO = \angle ACO = 30^\circ$

Answer 2

Considere el hecho de que la bisectriz de $\angle ABC$ pasa por I y O donde interseca la mediatriz de AC. Entonces ABC es isósceles y tenemos:

$\angle BAC=\angle BCA=30^o$

$\Rightarrow \angle BCF=150^o$

$\Rightarrow \angle BCE=75^o$

$\Rightarrow \angle ECA=105^o$

$\Rightarrow \angle AEC=60^o$

$\angle BEA=\angle BAE=15^o$

$\Rightarrow \angle BEC=60+15=75^o$

$\Rightarrow \angle CBE=30^o$

es decir:

$\angle CBO=\angle OBC+\angle CBE=60+30=9^o$

También $BE=BC=BO$

$\Rightarrow \angle BEO=45^o$

lo que da :

$\angle IEO=45-15=30^o$