Pregunta sobre la expectativa condicional

Question

Tengo una pregunta aparentemente trivial sobre la expectativa condicional. Considere $x$ y $y$ sean dos variables aleatorias integrables en el espacio de probabilidad (X, $\Sigma$ , $P$ ) tal que $$E(X|Y) =_{a.s} Y$$ y $$E(Y|X) =_{a.s} X$$ Demuestre que $$X=_{a.s} Y$$

La cosa parece un simple resultado de prueba, pero no sé cómo seguir adelante después de mostrar que $$\int_{B} Y = \int_{B} X$$ para todos $B \in \sigma(x)$ y $B \in \sigma(y)$

¿Alguna pista sobre cómo proceder? Muchas gracias de antemano

Answer 1

Pistas:

• Para cada número real $c$ considera $u(c)=E[X-Y;Y\leqslant c\lt X]$ . Utilice la hipótesis de que $E[Y\mid X]=X$ casi con toda seguridad para demostrar que $u(c)=E[Y-X;c\lt X,c\lt Y]$ .
• Deduzca que, si además $E[X\mid Y]=Y$ casi seguro, entonces $u(c)=-E[Y-X;X\leqslant c\lt Y]$ .
• Estudiando el signo del LHS y del RHS, deduce de lo anterior que $u(c)=0$ .
• Sea $v(c)=P[Y\leqslant c\lt X]$ . Deduzca de lo anterior que $v(c)=0$ para cada número real $c$ .
• Demuestre que $\int\limits_\mathbb Rv(c)\mathrm dc=E[(X-Y)^+]$ .
• Deduzca que $X\leqslant Y$ casi seguro.
• Concluya.