Prueba de verificación de la siguiente pregunta

Question

Quería comprobar si mi prueba es correcta o no. Usando estos axiomas de campo:

(i)Propiedad tricotómica: Exactamente una de $x<y$ , $y<x$ o $x=y$ aguanta.

(ii)Transitividad: si $x<y$ y $y<z$ (que podríamos escribir abreviadamente como $x<y<z$ ), entonces $x<z$ .

(iii)Si $x<y$ entonces $x+z < y+z$ .

(iv) Si $x<y$ y $z>0$ entonces $xz<yz$ .

• (A1) La suma es conmutativa
• (A2) La suma es asociativa
• (A3) La suma tiene un elemento neutro $0$
• (A4) Todo elemento tiene un inverso aditivo
• (A5) La multiplicación es conmutativa
• (A6) La multiplicación es asociativa
• (A7) La multiplicación tiene un elemento neutro $1$
• (A8) Todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo
• (A9) La multiplicación se distribuye sobre la suma

1. Demostrar que para todo $a,\, b,\, c\in\mathbb{R}$ si $a<b$ y $c<0$ entonces $bc < ac$ .

Desde $a<b$ por (A4), tenemos que $$ 0 = a + (-a) < b + (-a) = b - a.$$ Desde $b - a > 0$ y $c < 0$ entonces $c(b-a) < 0$ . Por (A9), esto es equivalente a $cb-ca<0$ . Por (A3), $$ cb=cb-ca+ca<0+ca=ca.$$ Así $cb<ca$ .

Answer 1

"Dado que b-a>0 y c<0, entonces c(b-a)<0"

¿Por qué afirmas esto? O esto es lo que quiere demostrar, o (y sospecho que es esto) está utilizando iv) pero no lo dice.

Así que deberías decirlo.

Desde $(b-a)> 0$ y $c < 0$ entonces por iv) $c(b-a) < 0\cdot (b-a)$

Pero fíjate. Usted no tienen un axioma que $0\cdot x = 0$ (!!!!)

Tienes que demostrarlo.

Pista 1: $0d = (0+0)d$

Pista 2: $-0d$ debe existir.

....

Una vez que demuestre que tiene

$c(b-a) <0$

Así que por A9 $c(b-a) = c(b+(-a)) = cb +c(-a)$

Así que $cb + c(-a) < 0$ y

....

Ahora tenemos que demostrar $c(-a) = -ca$ .

Pista: $c(-a) + ca = c(-a + a)$ .

...

Ahora tenemos $cb - ca <0$ y ... puedes terminar tu prueba.

Answer 2

Tu prueba tiene una laguna. ¿Cómo sabes que $b-a \gt 0 \land c \lt 0 \Rightarrow c(b-a) \lt 0$ ? No digo que estés equivocado, sólo que aún no lo has demostrado.

Editar para añadir:

Lema: Si $c \lt 0 \land x \lt y, \text{ then } xc \gt yc$ .

Prueba: $c+(-c) = 0 \land c \lt 0 \Rightarrow -c \gt 0$ . (Utilice la propiedad (iii), añadiendo $-c$ a ambos lados de la desigualdad).

Así, $-xc \lt -yc$ . Añada $xc + yc$ a ambas partes: $yc \lt xc$ y se demuestra el lema.