Dada una matriz nxn $A$ demuestre que si $A^3 = 0$ entonces $A-I_n$ es invertible. (Cerrado)

Question

Así que si tenemos $$A^3 = 0$$ podemos decir que $$A^3-I_n = -I_n$$ donde $I_n$ es una matriz de identidad n x n. Sabemos que para ser invertible como todas las columnas de $I_n$ son linealmente independientes. Sé que podemos factorizar eso a $$(A-I_n)(A^2+A+I_n)=-I_n$$ Aquí es donde me quedo atascado y no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Otra prueba: supongamos que $A-I_n$ no es invertible. Entonces $0$ es un valor propio de $A-I_n$ . Por lo tanto $1$ es un valor propio de $A$ . De ello se deduce que $1=1^3$ es un valor propio de $A^3=0$ ¡Contradicción!