Grupo homogéneo de Lorentz y observables

Question

Para los generadores del grupo de Lorentz tenemos la siguiente álgebra: $$ [\hat {R}_{i}, \hat {R}_{j} ] = -\varepsilon_{ijk}\hat {R}_{k}, \quad [\hat {R}_{i}, \hat {L}_{j} ] = -\varepsilon_{ijk}\hat {L}_{k}, \quad [\hat {L}_{i}, \hat {L}_{j} ] = \varepsilon_{ijk}\hat {R}_{k}. $$ Para la división del álgebra, podemos introducir los operadores $$ \hat {J}_{k} = \hat {R}_{k} + i\hat {L}_{k}, \quad \hat {K}_{k} = \hat {R}_{k} - i\hat {L}_{k}. $$ Así que $$ [\hat {J}_{i}, \hat {J}_{j} ] = -\varepsilon_{ijk}\hat {J}_{k}, \quad [\hat {K}_{i}, \hat {K}_{j} ] = -\varepsilon_{ijk}\hat {K}_{k}, \quad [\hat {J}_{i}, \hat {K}_{j}] = 0. $$ Así, cada representación irreducible del álgebra de Lie se caracteriza por $(j_{1}, j_{2})$ donde $j_{1}$ es el valor propio máximo de $\hat {J}_{3}$ y $j_{2}$ es el valor propio máximo de $\hat {K}_{3}$ .

Entonces puedo clasificar los objetos que se transforman a través de las matrices de las representaciones irreducibles, $$ \Psi_{\mu \nu}' = S^{j_{2}}_{\mu \alpha }S^{j_{2}}_{\nu \beta}\Psi_{\alpha \beta}, $$ donde $S^{j_{i}}_{\gamma \delta}: (2j_{i} + 1)\times (2j_{i} + 1)$ .

Para $(0, 0)$ Tengo campo escalar, para $\left(\frac{1}{2}, 0\right); \left(0; \frac{1}{2}\right)$ Tengo spinor, para $(1, 0); (0, 1)$ Tengo 3 vectores $\mathbf a, \mathbf b -> \mathbf a + i\mathbf b$ crear un tensor antisimétrico, etc.

Además, para escalar $j_{1} + j_{2} = 0$ para el espinor - $\frac{1}{2}$ para el tensor - $1$ . Entonces, la pregunta: ¿es la suma $j_{1} + j_{2}$ observado experimentalmente? ¿Está relacionado con un giro?

Answer 1

Sí, una representación etiquetada por $(j_1,j_2)$ corresponde al espín total $j_1+j_2$ , (para hablar con rigor de giro es necesario que uno de $j_1$ o $j_2$ es cero) y si $j_1=j_2$ , esta es una representación real, pero se puede tener una representación que sea una suma o representaciones irreductibles , algunos ejemplos:

$(\frac{1}{2},0)$ corresponde a un espinor de Weyl zurdo

$(0,\frac{1}{2})$ corresponde a un espinor de Weyl diestro

$(\frac{1}{2},0) + (0,\frac{1}{2})$ es el bi-espinor de Dirac

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ corresponde a un vector de Lorentz.

$(1,0) + (0,1)$ es la representación del campo electromagnético

De forma más general, si el conjugado complejo de una representación (intervirtiendo en todos los términos $j_1$ y $j_2$ ) es igual a la representación, entonces la representación es real.

Por ejemplo, la representación de Dirac, o la representación del campo electromagnético, son representaciones reales.

Answer 2

Sí, la combinación $j_1 + j_2$ determina el espín de la partícula. Nótese, sin embargo, que se trata de un adición de memento angular que puede ser complicado.

Además, puedes contar los grados de libertad: En $(j_1, j_2)$ cada uno contribuye $2j_1 + 1$ estados y construimos un producto tensorial, por lo que $(j_1, j_2)$ da $(2j_1 + 1) * (2j_2 + 2)$ grados de libertad. Para el vector tenemos $(1/2, 1/2) \mapsto 2 * 2 = 4$ grados de libertad.

Si la representación es reducible, es decir, de la forma $(j_1, j_2) + (k_1, k_2)$ entonces simplemente sumas la d.o.f. que obtienes de cada par. El espinor de Drac tiene $(1/2, 0) + (0, 1/2) \mapsto (2) + (2) = 4$ grados de libertad, el tensor de fuerza de campo tiene $(1, 0) + (0, 1) \mapsto 3 + 3 = 6$ d.o.f.

Como nota al margen: las representaciones $(1, 0)$ do no corresponden a grados de libertad vectoriales, sino a tensores antisimétricos autoduales. $(0, 1)$ es el tensor antisimétrico antiautodual. El vector (y la única manera de obtener un vector de esto) es $(1/2, 1/2)$ ¡!