Sabemos que debido al teorema de aproximación de Weierstrass. si tenemos una función no negativa $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y f es continua y $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$ , entonces tendremos $f=0$ en $[a,b].$
Ahora tengo una ligeramente diferente. Supongamos que tenemos una función continua no negativa $f(x,y)$ definido en $[a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R} $ y tenemos $\int_{c}^{d}f(x,y)dy=1$ para todos $x \in [a,b].$ ¿Puedo demostrar que $f(x,y)$ es sólo una función de $y$ en $[c, d]$ ?
Obviamente la no negatividad es importante, de lo contrario puedo elegir $f(x,y)=xy+\frac{3}{2}y^2$ y $[c,d]=[-1,1].$ Entonces $\int_{c}^{d}f(x,y)dy=1$ . Pero $f(x,y)$ no es sólo una función de $y$ . ¿Puede alguien ayudarme? Lo que creo es que podemos utilizar un enfoque similar al teorema de aproximación de Weierstrass. Pero no sé cómo hacerlo. Si añadimos más condiciones (como $f(x,y)$ es $C^{\infty}$ ). Parece que no sirvió de nada.
