Solucionable subgrupos de $S_p$ de orden divisible por $p$

Question

Esta pregunta es de Dummit y Foote del Álgebra Abstracta, la página 638, la pregunta 20. Se le da un buen apartado de sugerencias, que básicamente se orienta a través de el problema, pero estoy muy atascado en un momento crucial de unión. Cualquier sugerencia útil es muy apreciada. He detallado lo que sé y lo que no sé, pero si sólo quieres el tl;dr, acabo de leer la pregunta, que es la siguiente frase.

"Vamos a $p$ ser una de las primeras. Demostrar que cualquier solución subgrupo de $S_p$ de orden divisible por $p$ está contenida en el normalizador de Sylow $p$-subgrupo de $S_p$. [...]

Sugerencia: Deje $G \leq S_p$ ser una solución subgrupo de orden divisible por $p$. A continuación, $G$ contiene un $p$-ciclo, por lo tanto es transitiva en a $\{1, \ldots, p\}$. Deje $H < G$ ser el estabilizador en $G$ del elemento $1$, lo $H$ índice de $p$$G$. Mostrar que $H$ no contiene trivial normal subgrupos de $G$ (nota de los conjugados de la $H$ son los estabilizadores de los otros puntos). Deje $G^{(n-1)}$ ser el último subgrupo no trivial en la derivada de la serie para $G$. Mostrar que $H \cap G^{(n-1)} = 1$ y a la conclusión de que $\lvert G^{(n-1)}\rvert = p$, por lo que el Sylow $p$-subgrupo de $G$ (que es también un Sylow $p$-subgrupo de $S_p$) es normal en $G$."

Aquí están las cosas que yo sé:

1. $H$ tiene un orden que divide $(p-1)!$ ya que tiene el índice de $p$$G$, e $G$ orden $pu$ algunos $u$ no divisible por $p$.
2. Todo a excepción de la parte donde me pide probar que $H \cap G^{(n-1)} = 1$.
3. Sé cómo demostrar a la siguiente parte donde me piden demostrar que $|G^{(n-1)}| = p$ siempre sé cómo hacer que la parte anterior!
4. Sé que $\lvert S_p \rvert = p!$, por lo que cualquier Sylow $p$-subgrupo de $S_p$ tiene el tamaño de $p^1 = p$, ya que no hay otros factores de $p!$ puede contener $p$ como un factor principal.

Ahora, aquí están las cosas que no me sé:

1. Estoy terriblemente atascado en el paso donde tengo que mostrar a $H \cap G^{(n-1)} = 1$. Traté de mostrar que esto es normal, así que se puede utilizar el resultado inmediatamente anterior a la conclusión de que es trivial. Pero estoy teniendo graves problemas. Pensé que puede ser que falte algo muy obvio.
2. Incluso si puedo hacer esa parte, la parte siguiente nos pide a la conclusión de que este Sylow $p$-subgrupo es normal en $G$, lo que yo no puede ver inmediatamente cómo derivar. Estoy asumiendo que `este Sylow $p$-subgrupo" se refiere al tamaño de la $p$ subgrupo $G^{(n-1)}$---tiene el tamaño justo para ser un Sylow $p$-subgrupo.

Answer 1

Es falso en general que "abelian se cruzan máxima implica normal": $A_5$ es máxima en $S_5$, el subgrupo generado por a $(1,2,3,4)$ es abelian, pero la intersección de las dos es trivial (contiene $(1,3)(2,4)$) y no es normal en $S_5$.

Sin embargo, es cierto que la intersección de un máximo de subgrupo y un abelian normal subgrupo es normal.

La proposición. Deje $G$ ser un grupo, y $H$ un subgrupo maximal de a $G$. Si $N$ es un abelian normal subgrupo de $G$, $N\cap H$ es normal en $G$.

Prueba. Si $N\subseteq H$, $N\cap H = N\triangleleft G$ y hemos terminado.

Si $N$ no está contenido en $H$, luego maximality de $H$ y la normalidad de $N$ implica que $HN=G$ (desde $HN$ es un subgrupo). Deje $x\in H\cap N$$g\in G$. Entonces podemos escribir $g = hn$$h\in H$$n\in N$. Entonces $$gxg^{-1} = (hn)x(hn)^{-1} = h(nxn^{-1})h^{-1} = hxh^{-1}$$ con la última igualdad desde $N$ es abelian. Ahora, $x,h\in H$, lo $hxh^{-1}\in H$. Y $x\in N$, lo $hxh^{-1}\in N$. Por lo tanto, $hxh^{-1}\in H\cap N$, lo que demuestra que el $H\cap N$ es normal en $G$. QED

Añadido. De manera más general: tenga en cuenta que $H\cap N$ es ciertamente normal en $H$. Si $HN=G$, entonces usted sólo tiene que mostrar que $N$ normaliza $H\cap N$: a continuación,$(hn)x(hn)^{-1} = h(nxn^{-1})h^{-1}$, que se encuentran en el $H\cap N$ si $nxn^{-1}\in H\cap N$. Por lo tanto:

La proposición. Deje $H$ ser un subgrupo de $G$ y deje $N$ ser un subgrupo normal de $G$. A continuación, $H\cap N\triangleleft HN$ si y sólo si $N\subseteq N_{HN}(N\cap H)$ donde $N_{NH}(N\cap H)$ es el normalizador de la $N\cap H$$NH$.

Prueba. Si $N\subseteq N_{NH}(N\cap H)$, entonces el argumento procede como anteriormente. Por el contrario, si $N\cap H\triangleleft NH$, luego $N\subseteq NH=N_{NH}(N\cap H)$. $\Box$

En particular, si $N$ es abelian, a continuación,$N\subseteq C_{NH}(N\cap H)\subseteq N_{NH}(N\cap H)$; y si $H$ es maximal, entonces esto le da a la proposición anterior en el caso no trivial.

Ahora aplicar esto a $H$ y el abelian normal subgrupo $G^{(n-1)}$ a la conclusión de que la $H\cap G^{(n-1)}\triangleleft G$.

Ahora, usted sabe que $G^{(n-1)}$ es normal en $G$ (debido a que los términos derivados siempre son normales en $G$), y ha pedido a $p$. Desde una $p$-subgrupo de Sylow de $G$ orden $p$, $G^{(n-1)}$ $p$- subgrupo de Sylow de $G$. Como es normal en $G$, $p$- subgrupo de Sylow de $G$ es normal en $G$. Por lo $G$ está contenida en el normalizador de la $p$-subgrupo de Sylow $G^{(n-1)}$$S_p$.

Answer 2

Arturo solución sigue la sugerencia, y es correcto. Pero no encontré la sugerencia para mostrar que $N \cap H = 1$ particularmente útil.

Usted podría razón, alternativamente, de la siguiente manera. Utilizar el mismo argumento como Arturo para mostrar que $NH = G$. Desde $|NH| = |N||H|/|N \cap H|$, e $p$ no divide $|H|$, se deduce que el $p$ divide $|N|$. Desde $N$ es abelian, tiene un único Sylow $p$-subgrupo de orden $p$, que debe ser normal en $G$.