Álgebra lineal Prueba vectorial

Question

Prueba $(U+V) \cdot (U-V) = \Vert U \Vert^2 - \Vert V \Vert^2$

No sé muy bien cómo empezar este problema. Estoy buscando guiño en la dirección correcta o un recurso que podría utilizar para resolver este problema. Gracias de antemano

Answer 1

Antes de comenzar nuestra demostración, supongamos que $u.v = \langle u,v\rangle$ (sólo cambiando la notación).

Tenga en cuenta que,

$(U+V)\cdot(U-V) =\langle U+V,U-V\rangle = \langle U,U\rangle+\langle U,-V\rangle+ \langle V,U\rangle+\langle V,-V\rangle.$

Si estamos en un espacio vectorial real, entonces tenemos

$\langle U,U\rangle + \langle U,-V\rangle + \langle V,U\rangle + \langle V,-V\rangle=\langle U,U\rangle -\langle U,V\rangle+\langle U,V\rangle -\langle V,V\rangle.$

Así que, por definición, tenemos

$\langle U,U\rangle -\langle U,V\rangle +\langle U,V\rangle -\langle V,V\rangle= \|U\|^2 - \|V\|^2.$

Por lo tanto,

$(U+V)\cdot(U-V) = \|U\|^2 - \|V\|^2.$

Answer 2

Utilizando ese $a {\,\small \bullet\,} (b - c) = a {\,\small \bullet\,} b - b {\,\small \bullet\,} c$ tenemos $$(U+V) {\,\small \bullet\,} (U-V) = (U+V) {\,\small \bullet\,} U - (U+V) {\,\small \bullet\,} V$$ y luego usando eso $(a+b) {\,\small \bullet\,} c = a {\,\small \bullet\,} c + b {\,\small \bullet\,} c$ tenemos \begin{align} (U+V) {\,\small \bullet\,} U - (U+V) {\,\small \bullet\,} V &= U {\,\small \bullet\,} U + V {\,\small \bullet\,} U - [U {\,\small \bullet\,} V + V {\,\small \bullet\,} V] \\ &= \|U\|^2 + V {\,\small \bullet\,} U - U {\,\small \bullet\,} V - \|V\|^2. \end{align} Por último, puesto que $a {\,\small \bullet\,} b = b {\,\small \bullet\,} a$ , $V {\,\small \bullet\,} U - U {\,\small \bullet\,} V = 0$ y se deduce que $$(U+V) {\,\small \bullet\,} (U-V) = \|U\|^2 - \|V\|^2.$$

Answer 3

Dado que el producto punto se distribuye sobre la suma, esto se reduce a $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .