Demuestra el teorema de Apolonio.

Question

Deje entrar un $\Delta ABC$ D es el punto medio de $BC$ Demuéstralo:

$AB^2+AC^2=2CD^2+2AD^2$

MI INTENTO :

Dado que $BD=DC$ y construimos $E \ such \ that\ AE=EC\implies AC=\frac{EC}{2} \ and \ DE||AB \implies DE=\frac{AB}{2}$

Para el $\Delta DEC$ tenemos $DC^2=DE^2+EC^2 \implies 4DC^2=AC^2+AB^2 $

tenemos $AB^2+AC^2=2CD^2+2CD^2 \tag{1}$

En $\Delta ADE$ que tenemos, $AD^2=AE^2+DE^2 \implies AE^2+DC^2-EC^2 \implies AD^2=DC^2$

Por lo tanto $2CD^2=2AD^2$

Así, tenemos

$AB^2+AC^2=2CD^2+2AD^2$

No estoy seguro de esta prueba. Aunque esta prueba está bien explicada en wikipedia He intentado comprobar si esto puede resolverse utilizando geometría elemental.

Answer 1

Usa la regla del coseno dos veces:

$$\cos B=\dfrac {c^2+\frac {a^2}{4}-m^2}{2\times c\times \frac {a}{2}}\implies ac\cos B=c^2+\dfrac {a^2}{4}-m^2$$

$$\cos C=\dfrac {b^2+\frac {a^2}{4}-m^2}{2\times b\times \frac {a}{2}}\implies ab\cos C=b^2+\dfrac {a^2}{4}-m^2$$

Sumando las dos anteriores y utilizando $a=b\cos C+c\cos B$ obtenemos $$a^2=b^2+c^2+\dfrac {a^2}{2}-2m^2$$ o $$AB^2 +AC^2 =2CD^2 +2AD^2$$ (al reordenar los términos)