¿Existe la noción de rotación de un objeto en torno a su eje temporal? No estoy seguro de que esta pregunta tenga todo el sentido del mundo, pero me parece intuitivo que un objeto con dimensiones en las tres direcciones espaciales y la dimensión temporal (por tanto, un objeto emparejado con un intervalo de tiempo) pueda girar en torno al eje temporal, del mismo modo que podría girar en torno a su " $x$ -eje", " $y$ -eje", o " $z$ -eje". ¿Esta intuición es errónea? Si es posible, ¿qué aspecto tendría realizar una rotación de este tipo?
Respuestas
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Esta es una gran pregunta, y conduce a algunas ideas interesantes.
En primer lugar, la noción de "eje de rotación" se limita a tres dimensiones. En más de tres dimensiones, el concepto de eje de rotación debe sustituirse por una especificación del plano en el que se produce la rotación. En 3d, una rotación en torno al $z$ es lo mismo que una rotación en el eje $x$ - $y$ avión. El $z$ se elige como "el eje" porque es la única dirección perpendicular al $x$ - $y$ avión. En dimensiones superiores hay más de una dirección perpendicular, por lo que la noción de "eje" deja de ser útil, pero la elección del plano sigue siendo válida.
En segundo lugar, una vez que tenemos cuatro dimensiones, una de las cuales es el tiempo, hay otra complicación: el nuevo espacio 4d no es euclidiano, sino "minkowskiano". Una "rotación" del espacio de Minkowski en el $t$ - $x$ plano es lo mismo que un aumento de Lorentz en el $x$ dirección. No es una rotación normal debido al signo menos de la métrica de Minkowski. Este signo cambia el $\sin \theta$ y $\cos \theta$ de la rotación habitual en $\pm\sinh s$ y $\cosh s$ donde $s$ llamada rapidez es el análogo del ángulo de rotación $\theta$ .
lizzie
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¿Existe la noción de rotación de un objeto en torno a su eje temporal? No estoy seguro de que esta pregunta tenga todo el sentido del mundo, pero me parece intuitivo que un objeto con dimensiones en las tres direcciones espaciales y en la dirección del tiempo (por tanto, un objeto emparejado con un intervalo de tiempo) podría girar en torno al eje temporal, del mismo modo que podría girar en torno a su "eje x", "eje y" o "eje z". ¿Esta intuición es errónea?
La idea de "rotar" implica que en un momento dado el objeto tiene una orientación con respecto a los ejes de coordenadas espaciales y en otro momento el objeto tiene una orientación diferente con respecto a los ejes de coordenadas espaciales. Por tanto, hay un antes y un después de la rotación.
El espaciotiempo tiene todo el tiempo, todo el futuro y todo el pasado. Así que no puede haber una rotación antes o una rotación después en el espaciotiempo porque no hay antes ni después, todo el tiempo ya está incluido en el espaciotiempo. Un objeto es simplemente una forma unificada 4D en el espaciotiempo incrustada en un múltiple 4D.
En cambio, en el espaciotiempo una rotación espacial es un "giro" a lo largo de la longitud del objeto. La orientación de la sección transversal con respecto a los ejes espaciales es diferente en distintos puntos a lo largo de la dimensión temporal. Esto es similar a la escultura de abajo, donde la dirección vertical representa el eje temporal.
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Del mismo modo, la orientación de la sección transversal con respecto al eje temporal podría ser diferente en distintos puntos de la dimensión temporal. Esto sería una curvatura de la forma del espaciotiempo y correspondería a una aceleración del objeto.
mmesser314
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3875
Puede existir tal noción, y está relacionada con la noción de curvatura del espaciotiempo. La curvatura del espaciotiempo se mide por el transporte paralelo de un vector 4 alrededor de un pequeño cuadrado. Si el espaciotiempo está curvado, el cuadrado no vuelve al mismo punto y el vector 4 cambia de dirección y/o magnitud.
Se puede ver lo mismo en un espacio 2D curvo, como la superficie de la Tierra. Consideremos un cuadrado de lados de 1 m de longitud orientado paralelamente a las líneas de meridiano y longitud. Empieza con un vector 2D en la esquina sureste apuntando al norte. Muévelo hacia el norte, luego hacia el oeste, luego hacia el sur, luego hacia el este y vuelve al principio. El cambio es demasiado pequeño para verlo. La superficie de la Tierra es casi plana.
Inténtalo de nuevo con una esfera más pequeña, en la que la distancia del ecuador al polo norte sea de 1 m. Ahora el cuadrado tiene un aspecto diferente. Va del ecuador norte al polo norte. Da un giro de 90 $^o$ gira y va hacia el sur hasta el ecuador, luego hacia el este a lo largo del ecuador, luego hacia el norte de vuelta al polo norte. Si sigues la dirección del vector, ves que ha girado 90 $^o$ en su viaje.
Se pueden hacer bucles similares en el espaciotiempo. Como no se puede viajar hacia atrás en el tiempo, es más conveniente recorrer la mitad del cuadrado en direcciones opuestas. El cuadrado puede tener lados paralelos a los 3 ejes espaciales y/o al eje temporal. Los lados $x$ y $t$ tienen la misma longitud si $x = ct$ .
La Relatividad General nos dice que la masa curva el espaciotiempo. El tiempo viaja más despacio en un pozo gravitatorio que en el espacio alejado de un planeta. Véase ¿Por qué no puedo hacer esto para obtener energía infinita? .
Elijamos un cuadrado que empiece encima de un agujero negro. Un lado es espacial, hacia el centro. El siguiente es temporal: esperas un poco. Para un medio viaje, esperas $t$ y luego encontrar un punto $x$ debajo de ti. Para el otro, se encuentra el punto $x$ debajo de ti, y esperar allí. Como el tiempo viaja más despacio en el punto más bajo, llegas a dos acontecimientos diferentes.
Para ver cómo cambia un vector, se define un vector colocando una roca en el inicio y viendo qué distancia recorre en poco tiempo. La roca tanto el tiempo y el componente espacial del vector son diferentes si se espera a continuación, mover frente a mover y esperar.
Más información sobre la visualización de la curvatura del espaciotiempo. Una nueva forma de visualizar la Relatividad General
Luiz Duarte
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Tu intuición es interesante, pero girar un objeto alrededor del eje temporal no es análogo a girar un objeto en dimensiones espaciales. Sin embargo, en relatividad restringida existe un concepto que se asemeja a tu idea y que se llama Transformación de Lorentz . Las transformaciones de Lorentz pueden considerarse "rotaciones" en un espaciotiempo de cuatro dimensiones, que incluye tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal.
En El espaciotiempo de Minkowski , las coordenadas temporales y espaciales se combinan en un cuatro vector denominado intervalo espaciotemporal . Una transformación de Lorentz relaciona las coordenadas de un suceso en un marco inercial con las coordenadas del mismo suceso en otro marco inercial, que se mueve con una velocidad constante respecto al primer marco. Esta transformación mezcla las coordenadas temporales y espaciales, de forma similar a como las rotaciones mezclan las coordenadas espaciales en el espacio euclídeo tridimensional.
Para una transformación de Lorentz a lo largo de la $x$ -con una velocidad relativa $v$ las ecuaciones de transformación son:
\begin{align} t' &= \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right) \\ x' &= \gamma \left( x - vt \right) \\ y' &= y \\ z' &= z \end{align}
donde $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ es el factor de Lorentz, $c$ es la velocidad de la luz, y $(t, x, y, z)$ y $(t', x', y', z')$ son las coordenadas espaciotemporales en los fotogramas no imprimado y imprimado, respectivamente.
Aunque las transformaciones de Lorentz pueden considerarse una especie de rotación en el espaciotiempo, no tienen la misma interpretación geométrica que las rotaciones espaciales . En ellas intervienen funciones hiperbólicas, en lugar de las funciones trigonométricas utilizadas en las rotaciones espaciales, y sus efectos no son visualmente intuitivos de la misma manera.
