¿Cuáles son algunas de las aplicaciones de las conjeturas de Weil para curvas algebraicas?

Question

He estado interesado en las conjeturas de Weil durante algún tiempo, y el lugar más fácil para empezar ha sido en el estudio de curvas elípticas. He sido capaz de ver algunas de sus aplicaciones y consecuencias, pero hay aplicaciones interesantes de las conjeturas de Weil para curvas algebraicas que no elíptica?

La hipótesis de Riemann para curvas elípticas es equivalente a la del teorema de Hasse $|q + 1 - N_q| \le 2\sqrt{q}$ para la delimitación de la de error en el conteo de puntos en curvas elípticas sobre campos finitos. Me imagino que esto puede ser extendido para el conteo de puntos en cualquier curva algebraica $\mathbb{F}_q$ una vez que el RH ha sido probado para las curvas. Pero hay algo más de lo que uno puede hacer con esta generalización? Vale la pena tratando de sumergirse más profundamente en la curva caso, o simplemente apreciar la curva elíptica caso antes de tratar de la cabeza a dimensiones superiores variedades?

Las aplicaciones que más me gusta, fuera de la matemática pura en la criptografía, pero también me gustaría algo autónomo, es decir, una cuidada teorema se puede demostrar después de tener el WC para las curvas.

Gracias.

Answer 1

Esto puede ser un poco fuera de allí, pero se puede calcular los números de Betti de un tóricas de variedad en el uso de las conjeturas de Weil. Consulte la página 94 de Fulton "Introducción a Tóricas de Variedades." edit: También se puede utilizar para definir el Hasse-Weil L-función. Esto le ayudará a hacer las cosas como el estado de Taniyama-Weil, modularidad, y trabajo en el programa de Langlands. Para estos últimos, me tomaba muy en bruto (es decir, probablemente lleno de errores) notas de mi primer año de la escuela de posgrado consulte la página 13,14 aquí: http://divisibility.files.wordpress.com/2012/09/fbntremix.pdf

También, las conjeturas de Weil implica la generalización de la Ramanujam conjetura.

Answer 2

Una aplicación es la Ramanujan--Petersson conjetura de peso dos modular formas: la Eichler--Shimura congruencia relación se relaciona el $p$th Hecke correspondencias en el sistema modular de la curva a la Frobenius correspondencia en char. $p$, y RH (aplicado a la reducción de mod $p$ el sistema modular de la curva), a continuación, le da lo que quiere.

Así como el ser de interés en su propio derecho, este resultado tiene su propio agradable consecuencias: por ejemplo, se puede usar para probar el Manin-Drinfeld teorema, que los estados que grado cero divisores apoyado en las cúspides de la curva modular son necesariamente de torsión en el Jacobiano de la estructura modular de la curva.

Answer 3

Describo una codificación de la aplicación teórica como había prometido.

Suponga que $q=2^m$, y vamos a $$ tr:\Bbb{F}_q\a\Bbb{F}_2, x\mapsto \sum_{i=0}^{m-1}x^{2^i} $$ ser la función de trazado. Es relativamente fácil demostrar que (pregunte si usted no la ha visto) para un elemento fijo $a\in\Bbb{F}_q$ la ecuación $$ y^2+y=a $$ tiene dos soluciones $y\in\Bbb{F}_q$ si $tr(a)=0$ y no hay soluciones en $\Bbb{F}_q$ si $tr(a)=1$. Este resultado es a veces llamado Aditivo de Hilbert 90. Fijemos un polinomio $f(x)\in\Bbb{F}_q[x]$ de un extraño grado. Para un polinomio se puede asociar un vector binario de longitud $q-1$, con el componente $tr(f(x))$ todos los $x\in\Bbb{F}_q^*$, es decir, el vector $$ \vec{c}_f=(tr(f(1)),tr(f(g)),tr(f(g^2)),\ldots,tr(f(g^{q 2})))\in\Bbb{F}_2^{p-1}, $$ donde $g$ es un generador del grupo $\Bbb{F}_q^*$.

Deje que el peso de Hamming de $\vec{c}_f$ (es decir, su número de componentes igual a$1$)$w_f$. Por las anteriores consideraciones, el número de soluciones de $y^2+y=f(x) $ for a fixed $x$ es $2$ si $tr(f(x))=0$ $0$ lo contrario. Por lo tanto, dejar $x$ variar a lo largo de todos los valores distintos de cero, el número de $N_f$ de soluciones de $(x,y)\in\Bbb{F}_q^2, x\neq0$ de la ecuación $$ y^2+y=f(x)\qquad(*) $$ está ligado a $w_f$ por la ecuación $$ N_f=2(q-1-w_f). $$ Esto nos da una fórmula para el peso de Hamming $$ w_f=q-1-\frac12 N_f. $$ Por lo tanto, un límite superior para $N_f$ da un límite inferior para el Hamming de peso.

Suponiendo que $\deg f=2t+1$ no es difícil mostrar que el género de la curva de $(*)$$g=t$. Por lo tanto, (contando los dos puntos de la curva con $x=0$, y para el punto en el infinito) Hasse-Weil enlazado nos da la estimación $$ w_f\ge\frac12(q+1-t\sqrt q).\qquad(**) $$

Tenemos el doble de la (sentido estricto) $t$-corrección de errores BCH-código dejando $f$ rango en el conjunto de polinomios con sólo impar términos del grado de grado de la $\le 2t+1$. Por lo tanto, $(**)$ es un límite inferior a la mínima distancia de Hamming de ese código. El atado es razonablemente precisa en la mayoría de los casos. Algunas mejoras son conocidos por cuidadosamente construido subcódigos en casos especiales.

Answer 4

Usted puede utilizar el Hasse-Weil límites para demostrar que la Hasse-Weil L-función de $L(C,s)$ de una curva de $C$ converge para $\Re(s)>3/2$. Ver página 312 en Husemoller "Curvas Elípticas".