¿Solución al problema de Putnam?

Question

Creo que mi solución debe estar equivocada porque es demasiado simple y no coincide con otras soluciones que he visto en Internet. Pero realmente no consigo averiguar dónde está el error.

Definir un número entero positivo $n$ sea cuadrada si $n$ es a su vez un cuadrado perfecto o la distancia desde $n$ al cuadrado perfecto más cercano es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, $2016$ es cuadrado, porque el cuadrado perfecto más próximo a $2016$ es $45^2=2025$ y $2025-2016=9$ es un cuadrado perfecto. (De los enteros positivos comprendidos entre $1$ y $10,$ sólo $6$ y $7$ no son cuadrados).

Para un número entero positivo $N,$ deje $S(N)$ sea el número de enteros cuadrados entre $1$ y $N,$ inclusive. Encontrar constantes positivas $\alpha$ y $\beta$ tal que

$$\lim_{N\to\infty}\frac{S(N)}{N^{\alpha}}=\beta,$$

o demostrar que no existen tales constantes.

Desde $S(N)$ sólo cuenta algunos de los números entre $1$ y $N$ tenemos $0 \le S(N) \le N$ para cualquier $N$ . Por lo tanto, para cualquier $N$ ,

$$\dfrac {0}{N^{\alpha}} \le \frac{S(N)}{N^{\alpha}} \le \dfrac {N}{N^{\alpha}}$$

$$0 \le \frac{S(N)}{N^{\alpha}} \le \dfrac {1}{N^{\alpha-1}}$$

Sea $\alpha = 2$

$$0 \le \frac{S(N)}{N^{2}} \le \dfrac {1}{N}$$

Por el teorema del sándwich,

$$\lim_{N\to\infty}\frac{S(N)}{N^{2}}=0$$

Así que $\alpha = 2$ , $\beta = 0$ (o $\alpha=$ cualquier número $>2, \beta = 0$ )

Answer 1

Para un número entero positivo $m$ decimos que $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ es su centro si $n^2$ es el cuadrado perfecto más próximo a $m$ en cuyo caso, decimos que $m$ es un vecino de $n$ . En primer lugar, es fácil ver que, para cualquier número entero positivo $m$ con centro $n$ , $$n^2-n\leq m\leq n^2+n\,.$$ Obsérvese que un número entero positivo $m$ es cuadrada si y sólo si $$m=n^2\pm k^2\text{ for some }k\in\big\{0,1,2,\ldots,\lfloor\sqrt{n}\rfloor\big\}\,,$$ donde $n$ es el centro de $m$ .

Ahora, dejemos que $a_n$ denotan el número de vecinos al cuadrado de un número entero positivo dado $n$ . A partir del resultado anterior, vemos que $$a_1=2\text{ and }a_n=2\,\lfloor\sqrt{n}\rfloor+1\text{ for each }n\in\mathbb{Z}_{>1}\,.$$ Así, $$S(n^2+n)= \sum_{r=1}^n\,a_r=-1+\sum_{r=1}^n\,\big(2\,\lfloor \sqrt{r}\rfloor+1\big)\tag{*}$$ para cada número entero positivo $n$ . Es decir, $$-1+\sum_{r=1}^n\,(2\sqrt{r}-1)<S(n^2+n)\leq -1+\sum_{r=1}^n\,(2\sqrt{r}+1)\,.$$

Utilizando la desigualdad de Bernoulli, tenemos $$\left(1+\frac{1}{j}\right)^{\frac{3}{2}}\geq 1+\frac{3}{2j}\text{ for all }j\in\mathbb{Z}_{>0}\,.$$ Eso es, $$\sqrt{j}\leq \frac{2}{3}\,\left((j+1)^{\frac{3}{2}}-j^{\frac{3}{2}}\right)\,.$$ Lo mismo digo, $$\left(1-\frac{1}{j}\right)^{\frac{3}{2}}\geq 1-\frac{3}{2j}\text{ for all }j\in\mathbb{Z}_{>0}\,.$$ Esto implica $$\sqrt{j}\geq \frac{2}{3}\,\left(j^{\frac{3}{2}}-(j-1)^{\frac{3}{2}}\right)\,.$$

A partir de (*), obtenemos que $$\frac{4}{3}\,n^{\frac{3}{2}}-n-1< S(n^2+n)\leq \frac{4}{3}\,\left((n+1)^{\frac{3}{2}}-1\right)+n-1\,.$$ Así, para cualquier número entero positivo $N$ con centro $n$ tenemos $n^2-n\leq N$ de modo que $$n\leq \sqrt{N+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}<\sqrt{N}+1$$ y $$S(N)\leq S(n^2+n)<\frac{4}{3}\,\left(\left(\sqrt{N}+2\right)^{\frac{3}{2}}-1\right)+\sqrt{N}$$ para todos los números enteros $N>0$ . Del mismo modo, $N\leq n^2+n$ implica que $$n\geq \sqrt{N+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}>\sqrt{N}-1$$ y $$S(N)\geq S\big((n-1)^2+(n-1)\big)>\frac{4}{3}\,\left(\sqrt{N}-2\right)^{\frac{3}{2}}-\sqrt{N}-1\,,$$ para todos los números enteros $N\geq 4$ .

En consecuencia, hemos demostrado que, para todos los números enteros $N\geq 4$ , $$\frac{4}{3}\,\left(\sqrt{N}-2\right)^{\frac{3}{2}}-\sqrt{N}-1< S(N)< \frac{4}{3}\,\left(\left(\sqrt{N}+2\right)^{\frac{3}{2}}-1\right)+\sqrt{N}\,.$$ Ergo, $$\frac{4}{3}\,\left(1-\frac{2}{\sqrt{N}}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{N^{\frac14}}-\frac{1}{N^{\frac{3}{4}}}< \frac{S(N)}{N^{\frac{3}{4}}}< \frac{4}{3}\,\left(\left(1+\frac{2}{\sqrt{N}}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{N^{\frac34}}\right)+\frac{1}{N^{\frac{1}{4}}}\,.$$ Por el Teorema del Estrujamiento, $$\lim_{N\to\infty}\,\frac{S(N)}{N^{\frac{3}{4}}}=\frac{4}{3}\,,$$ de donde $\alpha=\dfrac{3}{4}$ y $\beta=\dfrac{4}{3}$ .